FOS T12
Aufgabe 1
Gegeben ist die reelle Funktion mit der Funktionsgleichung mit mit und der Definitionsmenge . Der Graph wird mit bezeichnet.
Geben Sie mit kurzer Begründung an, für welche Werte von der Graph genau einen Extrempunkt besitzt. [2 BE]
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- Der Graph der gegebenen Funktion ist eine Parabel, die immer genau einen Extrempunkt besitzt.
- Beachte den Fall .
Gib mit kurzer Begründung an, für welche Werte von der Graph genau einen Extrempunkt besitzt
Der Graph der gegebenen Funktion ist eine Parabel, die immer genau einen Extrempunkt besitzt.
Wegen ist auch möglich. In diesem Fall ist und der Graph ist eine Gerade (ohne Extrempunkt).
Für alle hat genau einen Extrempunkt.
Bestimmen Sie in Abhängigkeit von die Anzahl der Nullstellen von . [6 BE]
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- Berechne .
- Mache eine Fallunterscheidung.
Bestimme in Abhängigkeit von die Anzahl der Nullstellen von
Berechne
Dies ist eine quadratische Gleichung. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.
Setze und ein.
Betrachte den Radikanden:
Für ist der Radikand gleich null und die Funktion hat genau eine Nullstelle.
Somit ergibt sich folgendes Ergebnis:
1. (siehe Aufgabe a), die Parabel wird zur Geraden, deren Graph genau eine Nullstelle hat.
2. , die Funktion hat genau eine Nullstelle.
3. und , die Diskriminante ist größer als null, d. h., es gibt zwei Nullstellen.
Es gibt zwei Punkte und , die unabhängig vom Wert des Parameters immer auf liegen. Bestimmen Sie die Koordinaten von und . [4 BE]
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- Setze für zwei verschiedene Werte ein, z. B. und .
- Löse die Gleichung und .
- Setze die beiden x-Werte in eine der beiden Funktionsgleichungen ein.
- Gib die Koordinaten von und an.
Bestimme die Koordinaten von und
Setze für zwei verschiedene Werte ein.
Löse die Gleichung :
Umformung: -x
Umformung: -x^2
Umformung: +10
Die Gleichung hat die beiden Lösungen und .
Setze die beiden Werte in eine der beiden Funktionsgleichungen ein (hier ):
Somit lauten die Koordinaten der beiden Punkte und .
Für die weiteren Teilaufgaben gilt . Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt von .
Berechnen Sie und interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch. Markieren Sie dazu geeignete Flächenstücke in der Abbildung. [5 BE]
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Teil 1
- Berechne .
Teil 2
- Die Flächenbilanz ist negativ.
- Was bedeutet das?
Teil 3
- Markiere die Flächenstücke in der Abbildung.
Berechne
Für ist
Interpretiere das Ergebnis geometrisch
Berechnet wird die Fläche zwischen und der x-Achse. Von bis verläuft der größere Flächenteil unterhalb der x-Achse, sodass die Flächenbilanz negativ ist. Das Flächenstück unterhalb der x-Achse ist betragsmäßig um größer als das Flächenstück oberhalb der x-Achse von bis .
Markiere dazu geeignete Flächenstücke in der Abbildung
Die Funktion ist eine Stammfunktion von mit , ihr Graph wird mit bezeichnet. Geben Sie die Wendestelle von an und begründen Sie die Existenz der Wendestelle anhand des Graphen in der vorliegenden Abbildung. [2 BE]
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- Nach der NEW-Regel hat die Stammfunktion an der Stelle eine Wendestelle, an der eine Extremstelle hat.
- Betrachte die Abbildung.
Gib die Wendestelle von an und begründe die Existenz der Wendestelle anhand des Graphen in der vorliegenden Abbildung
Nach der NEW-Regel hat die Stammfunktion an der Stelle eine Wendestelle, an der eine Extremstelle hat. Dies ist nach der Abbildung bei der Fall, hier liegt ein Tiefpunkt vor. und wechselt das Vorzeichen von nach , sodass bei eine Wendestelle besitzt.