In einem kartesischen Koordinatensystem des sind die Punkte und gegeben.
Runden Sie Ihre Endergebnisse gegebenenfalls auf eine Nachkommastelle.
Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung mit und interpretieren Sie Ihr Ergebnis geometrisch. [6 BE]
Lösung anzeigen
- Berechne die Vektoren und .
- Setze in die gegebene Gleichung nein.
- Du erhältst ein Gleichungssystem, das Du z. B. mit dem Additionsverfahren lösen kannst.
- Was sagt die Lösungsmenge über die drei Vektoren aus?
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung mit und interpretiere Dein Ergebnis geometrisch
Berechne die Vektoren und :
Du hast ein Gleichungssystem erhalten, das Du z. B. mit dem Additionsverfahren lösen kannst:
Rechne :
Rechne
Rechne
Setze in
Setze und in Gleichung
Das Gleichungssystem hat nur die Lösung . Die drei Vektoren sind demnach linear unabhängig. Sie befinden sich nicht in einer Ebene durch den Koordinatenursprung und sind nicht parallel zueinander. Die drei Vektoren bilden eine Basis des .
Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts des Dreiecks . [3 BE]
Lösung anzeigen
- Berechne die Vektoren und .
- Berechne .
Berechne die Maßzahl des Flächeninhalts des Dreiecks
Berechne die Vektoren und :
Die Maßzahl des Flächeninhalts des Dreiecks beträgt rund .
Die Gerade verläuft durch die Punkte und . Es gilt: . (Nachweis nicht
erforderlich!)
Berechnen Sie den Abstand der Geraden zum Punkt . [5 BE]
Lösung anzeigen
- Es ist die Gleichung der Geraden durch die Punkte und .
- Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene , die den Punkt enthält und deren Normalenvektor der Richtungsvektor der Geraden ist.
- Schneide mit Schnittpunkt .
- Berechne den Vektor .
- Für den gesuchten Abstand gilt dann .
Berechne den Abstand der Geraden zum Punkt
Gegeben:
Es ist die Gleichung der Geraden durch die Punkte und .
Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene , die den Punkt enthält und deren Normalenvektor der Richtungsvektor der Geraden ist.
Schneide mit :
Berechne das Skalarprodukt:
Mit kann der Schnittpunkt S von mit berechnet werden:
Dann ist .
Für den Abstand des Punktes C von der Geraden gilt:
Der Abstand der Geraden zum Punkt beträgt rund .
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Gegeben sind die Gerade und der Punkt .
Dann gilt für den Abstand des Punktes zur Geraden:
Auf die Aufgabe übertragen gilt:
Der Abstand der Geraden zum Punkt beträgt rund .