FOS T12
Aufgabe 1
Gegeben ist die ganzrationale Funktion mit der Definitionsmenge und . Ihr Graph wird mit bezeichnet.
Zeigen Sie, dass die einzige und von abhängige Wendestelle von ist.
[4 BE]
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- Berechne und .
- Löse die Gleichung (notwendige Bedingung für einen Wendepunkt).
- Eine Wendestelle liegt bei vor, wenn die hinreichende Bedingung erfüllt ist.
- Alternativ kann der Nachweis auch mit einer Monotonietabelle erfolgen.
Zeige, dass die einzige und von abhängige Wendestelle von ist
Berechne und .
Löse die Gleichung (notwendige Bedingung für einen Wendepunkt).
Eine Wendestelle liegt bei vor, wenn die hinreichende Bedingung erfüllt ist.
Berechne
Die Bedingung ist erfüllt, d. h. ist die einzige von abhängige Wendestelle von .
Alternativ kann der Nachweis auch mit einer Monotonietabelle erfolgen.
Berechnen Sie so, dass die Steigung der Wendetangente beträgt. [3 BE]
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- Berechne .
- Löse die Gleichung
- Beachte .
Berechne so, dass die Steigung der Wendetangente beträgt
Berechne
Es soll sein
Umformung: \cdot (-4)
Löse nach auf.
Umformung: +9
Umformung: \cdot(-3)
Umformung: \sqrt{}
Wegen ist der gesuchte Wert .
Nun sei . Die zugehörige Funktion wird mit , der entsprechende Graph mit bezeichnet. Somit gilt: mit der Definitionsmenge .
Bestimmen Sie jeweils die Art und die Koordinaten aller relativen Extrempunkte von . [6 BE]
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- Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
- Berechne die 1. Ableitung und löse die Gleichung und .
- Erstelle eine Monotonietabelle.
- Berechne die Funktionswerte und gib die Koordinaten der relativen Extremwerte an.
Bestimme jeweils die Art und die Koordinaten aller relativen Extrempunkte von
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
Berechne die 1. Ableitung und löse die Gleichung .
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.
Setze und ein.
und
Erstelle eine Monotonietabelle:
HP |
Es gibt bei einen relativen Tiefpunkt und bei einen relativen Hochpunkt.
Berechne die Funktionswerte.
hat die relativen Extremwerte und .
Zeichnen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse und geeigneter weiterer Funktionswerte den Graphen im Bereich in ein kartesisches Koordinatensystem. Maßstab auf beiden Achsen: 1 LE=1 cm. [3 BE]
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- Erstelle eine Wertetabelle.
- Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.
Zeichne unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse und geeigneter weiterer Funktionswerte den Graphen im Bereich in ein kartesisches Koordinatensystem
Erstelle eine Wertetabelle.
x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
5 | -1,25 | -3 | -1,75 | 1 | 3,75 | 5 | 3,25 | -3 |
Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.
Des Weiteren ist die Parabel gegeben, die den Graphen im Punkt berührt und bei schneidet. Bestimmen Sie eine mögliche Funktionsgleichung von .
[mögliches Ergebnis: ] [5 BE]
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- Gegeben: Funktion , die den Graphen im Punkt berührt und bei schneidet. Im Punkt kann nur der Hochpunkt von liegen.
- Ansatz:
- Setze ein.
Bestimme eine mögliche Funktionsgleichung von
Gegeben: Funktion , die den Graphen im Punkt berührt und bei schneidet.
Im Punkt kann nur der Hochpunkt von liegen.
Ansatz:
Setze ein:
oder
Zeichnen Sie die Parabel für in die Zeichnung aus Teilaufgabe d) ein.
[2 BE]
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- Erstelle eine Wertetabelle.
- Übertrage die Punkte in das Koordinatensystem aus Aufgabe d) und verbinde sie.
Zeichne die Parabel für in die Zeichnung aus Teilaufgabe d) ein
Erstelle eine Wertetabelle.
x | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
-3 | 0,5 | 3 | 4,5 | 5 | 4,5 | 3 |
Übertrage die Punkte in das Koordinatensystem aus Aufgabe d) und verbinde sie.
Die Parabel und der Graph schließen gemeinsam ein endliches Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks. [4 BE]
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- Berechne die Differenz der beiden Funktionsterme .
- Berechne .
Berechne die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks
Berechne die Differenz der beiden Funktionsterme:
Die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks beträgt .
Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden.
Sie dient nur der Veranschaulichung.
