FOS BOS T12
Aufgabe 2
Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge und . Der zugehörige Graph wird mit bezeichnet.
Bestimmen Sie in Abhängigkeit von die Nullstellen von mit ihren Vielfachheiten. [4 BE]
Lösung anzeigen
- Löse die Gleichung .
- Betrachte die Fälle bzw. .
Bestimme in Abhängigkeit von die Nullstellen von mit ihren Vielfachheiten
Gegeben:
Löse die Gleichung :
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:
oder
Betrachte den Fall :
, also dreifache Nullstelle bei .
Betrachte den Fall :
oder , also einfache Nullstelle bei und doppelte Nullstelle bei .
Geben Sie die Anzahl und die Art der relativen Extrempunkte des Graphen von in Abhängigkeit von an. [2 BE]
Lösung anzeigen
- Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
- Berechne die 1. Ableitung und löse die Gleichung quadratische Gleichung in Abhängigkeit von .
- Berechne die Diskriminante .
- Betrachte bei die Fälle bzw. .
Gib die Anzahl und die Art der relativen Extrempunkte des Graphen von in Abhängigkeit von an
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
Berechne die 1. Ableitung und löse die Gleichung .
Betrachte die Diskriminante :
Mit und folgt:
Bei Funktionen dritten Grades gibt es entweder keine Extrema (die 1. Ableitung hat keine oder nur eine doppelte Nullstelle) oder es gibt jeweils einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt (die 1. Ableitung hat zwei einfache Nullstellen).
Fallunterscheidung:
hat eine doppelte Nullstelle hat keine Extrema.
hat zwei einfache Nullstellen hat einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt.
Nun sei . Die zugehörige Funktion wird mit , der entsprechende Graph mit bezeichnet. Somit gilt: mit .
In einer unebenen Landschaft soll eine neue Straße gebaut werden. Im Zuge der Vorplanungen wird das Gelände im Querschnitt betrachtet. Dabei soll für weitere Betrachtungen der Graph der Funktion für die obere Begrenzungslinie des Geländes im Querschnitt beschreiben. und sind Längenangaben in der Einheit Meter. Der Wert von gibt die Höhe über einem festgelegten Bezugsniveau an. Ein Ausschnitt dieses Geländeprofils ist unten abgebildet. Runden Sie die Ergebnisse sinnvoll.
1 Das auf einer Länge von gleichbleibende Geländeprofil wird für den Bau des Straßenbetts bis zu einer Höhe von über dem Bezugsniveau aufgefüllt (siehe schraffierte Fläche in Zeichnung von c).
Berechnen Sie das Volumen des dafür erforderlichen Füllmaterials. Die Ränder des Straßenbetts entnehmen Sie näherungsweise der Zeichnung. [6 BE]
2 Im Bereich befindet sich eine Schule (nicht in der Abbildung dargestellt). Zwischen der Schule und der Straße soll eine vertikale Lärmschutzwand errichtet werden. Damit diese Wand einen effektiven Lärmschutz sicherstellt, muss die Wand laut Berechnungen von Ingenieuren mindestens bis zu einer Höhe von über dem Bezugsniveau reichen.
Um Material und Baukosten zu sparen, soll das vorhandene Geländeprofil genutzt werden.
Ermitteln Sie die Koordinaten des höchsten Punktes des Geländes zwischen Schule und Straßentrasse und berechnen Sie die minimal notwendige Höhe der Lärmschutzwand. [6 BE]
3 Im Bereich für soll das Geländeprofil rechts des Straßenbetts einen geradlinigen Verlauf erhalten. Das Geländeprofil wird für diesen Bereich durch die Tangente an den Graphen von an der Stelle beschrieben. Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Tangente.
Beurteilen Sie außerdem, ob das Geländeprofil in diesem Bereich zusätzlich befestigt werden muss, wenn dies ab einem Neigungswinkel von notwendig ist. [4 BE]
Lösung anzeigen
1
- Berechne die Querschnittsfläche zwischen und .
- Das Volumen ist gleich die Querschnittsfläche mal der Länge.
2
Teil 1
- Der höchste Punkt des Geländes muss im Intervall liegen.
- Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
- Berechne die 1. Ableitung und löse die Gleichung .
- Erstelle eine Monotonietabelle.
- Berechne die y-Koordinate des Hochpunktes
Teil 2
- ist die Höhe der Lärmschutzwand (alle Werte in ).
- Dann gilt:
3
Teil 1
- Berechne und .
- Setze ein.
Teil 2
- Die Steigung der Tangente liefert den Neigungswinkel.
- Vergleiche mit 45°.
1 Berechne das Volumen des dafür erforderlichen Füllmaterials
Der Zeichnung entnimmst Du die Integrationsgrenzen und .
Gesucht ist die Querschnittsfläche zwischen und .
Die Querschnittsfläche beträgt rund .
Das Volumen ist gleich die Querschnittsfläche mal der Länge:
Das Volumen beträgt rund .
2 Ermittle die Koordinaten des höchsten Punktes des Geländes zwischen Schule und Straßentrasse
Der höchste Punkt des Geländes muss im Intervall liegen.
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
Berechne die 1. Ableitung und löse die Gleichung .
Gegeben:
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst Du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel:
Setze und ein.
und
Der Wert liegt nicht im Intervall und wird deshalb nicht weiter untersucht.
Erstelle eine Monotonietabelle:
Berechne
Der Hochpunkt hat die Koordinaten .
Berechne die minimal notwendige Höhe der Lärmschutzwand
ist die Höhe der Lärmschutzwand (alle Werte in ).
Dann gilt:
Die minimal notwendige Höhe der Lärmschutzwand beträgt rund .
3 Bestimme eine Gleichung dieser Tangente
Gefordert: Tangente an den Graphen von an der Stelle
Berechne und .
Setze in ein:
Die Gleichung dieser Tangente lautet .
Beurteile außerdem, ob das Geländeprofil in diesem Bereich zusätzlich befestigt werden muss, wenn dies ab einem Neigungswinkel von notwendig ist
Die Steigung der Tangente liefert den Neigungswinkel.
Der Neigungswinkel ist kleiner als , d. h. das Geländeprofil muss in diesem Bereich nicht zusätzlich befestigt werden.