Aufgabe 1
Die Funktion ist eine ganzrationale Funktion vierten Grades mit der Definitionsmenge . Ihr Graph wird mit bezeichnet.
Die zweite Ableitung von besitzt die Funktionsgleichung:
Skizzieren Sie einen Ausschnitt des Graphens der Funktion , anhand dessen die maximalen Krümmungsintervalle des Graphens abgelesen werden können. Geben Sie diese Intervalle an. [3 BE]
Lösung anzeigen
- Bei handelt es sich um eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen und .
- Aus dem Vorzeichen von f'' kann auf rechtsgekrümmt oder linksgekrümmt geschlossen werden.
- Gib die entsprechenden Intervalle an.
Skizziere einen Ausschnitt des Graphens der Funktion , anhand dessen die maximalen Krümmungsintervalle des Graphens abgelesen werden können
Bei handelt es sich um eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen und .
Demnach ist rechtsgekrümmt für und .
linksgekrümmt für .
Die Funktion ist die erste Ableitungsfunktion der Funktion .
Geben Sie das Verhalten der Funktionswerte von für sowie jeweils die Art und Lage aller relativen Extremstellen von an.
Lösung anzeigen
Teil 1
- Bekannt: ist vom Grad und der Leitkoeffizient ist negativ.
- Demnach muss vom Grad sein und der Leitkoeffizient bleibt negativ.
- Berechne und .
Teil 2
- Nach der NEW-Regel gilt: Hat eine Nullstelle bei hat ein Extremum an der Stelle hat einen Wendepunkt an der Stelle .
- Betrachte den globalen Verlauf von und schließe auf Tief- und Hochpunkte.
Gib das Verhalten der Funktionswerte von für an
Bekannt: ist vom Grad und der Leitkoeffizient ist negativ.
Demnach muss vom Grad sein und der Leitkoeffizient bleibt negativ.
Für das Grenzwertverhalten folgt dann:
und
Gib jeweils die Art und Lage aller relativen Extremstellen von an
Nach der NEW-Regel gilt:
Hat eine Nullstelle bei hat ein Extremum an der Stelle hat einen Wendepunkt an der Stelle .
Hier hat eine Nullstelle bei und bei . Demnach gibt es an diesen beiden Stellen Extrema von .
Aus dem globalen Verlauf von kann man schließen, dass an der Stelle ein Tiefpunkt und bei ein Hochpunkt liegen.
( kommt von links oben und verläuft nach rechts unten.)