Es wird der Zusammenhang zwischen Nullstellen (), Extremstellen () und Wendestellen () untersucht.
Die NEW-Regel gilt für Nullstellen (), Extremstellen () und Wendestellen () einer Funktion, der dazugehörenden Stammfunktion oder den Ableitungsfunktionen.
Diese Regel kann für die rechnerische oder grafische Bestimmung von Extrem- und Wendestellen benutzt werden.
F | N | E | W | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
f | N | E | W | |||
f' | N | E | W | |||
f'' | N | E | W |
Beispiel
Gegeben ist die Funktion durch , mit .
Die Funktion ist eine Stammfunktion einer Funktion mit .
Gesucht sind die Extrem- und Wendestellen von .
Extrema von
, und
Nachweis der Extremstelle:
- Vorzeichentabelle
- 2. Ableitung
- Vielfachheit der Nullstelle
Wendestellen von
und
Nachweis der Wendestelle:
- Vorzeichentabelle
- 3. Ableitung
- Vielfachheit der Nullstelle
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Die Vielfachheit der Nullstelle gibt an, wie viele Nullstellen es an einer Stelle gibt.
Funktion | Nullstelle(n) | Vielfachheit der Nullstelle |
|---|---|---|
Es gibt auch Funktionen mit vierfachen, fünffachen, sechsfachen usw. Nullstellen.
Man unterscheidet Nullstellen mit ungerader Vielfachheit (z. B. )mit Vorzeichenwechsel. Der Graph der Funktion schneidet die x-Achse.
Ein lokales Extremum (Hoch- oder Tiefpunkt) liegt dort jedoch nur dann vor, wenn die Nullstelle einfach ist (Vielfachheit 1).
Nullstellen mit ungerader Vielfachheit größer eins:Sattelpunkt
Nullstellen mit gerader Vielfachheitkein Vorzeichenwechsel.
Der Graph der Funktion berührt die x-Achse.
Nullstellen mit gerader VielfachheitExtremum
Beispiel für die Anwendung der NEW-Regel
Gegeben ist die Funktion mit .
Gesucht sind die Extrem- und Wendestellen von , wobei eine Stammfunktion von ist.
Nullstellen von
und
Extremstellen von :
In der Tabelle ist die erste Nullstelle von und die erste Extremstelle von eingetragen.
F | N | E | W | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
f | W |
Der Tabelle kann man entnehmen, dass der Graph der Stammfunktion an der Stelle ein Extremum und an der Stelle eine Wendestelle hat.
Entsprechende Aussagen sind auch mit den anderen Nullstellen bzw. Extremstellen von möglich.
Ergebnis:
hat Extrema an den Stellen und
hat Wendestellen an den Stellen und
Nachweis der Extrema:
1. Vorzeichentabelle
Wechselt an den Stellen und das Vorzeichen?
Ergebnis:
2. Zweite Ableitung
3. Vielfachheit der Nullstelle
Die Nullstellen der ersten Ableitung () sind einfache Nullstellen (Vielfachheit ), da sie einzeln auftreten und die Funktion an diesen Stellen die Achse schneidet (Vorzeichenwechsel).
Ergebnis: Da die Vielfachheit ungerade ist, handelt es sich um Extrema.
bei , bei und bei (bestätigt durch die zweite Ableitung).
Nachweis der Wendestellen:
1. Vorzeichentabelle
Wechselt an den Stellen das Vorzeichen?
+ | |||||
Linkskrümmung | Rechtskrümmung | WP | Linkskrümmung |
VZW von bei und VZW von bei
Ergebnis: Wendestellen bei und
2. Dritte Ableitung
Ergebnis: Wendestellen bei und
3. Vielfachheit der Nullstelle
Faktorisierung von :
Die Nullstelle ist eine einfache Nullstelle (Vielfachheit ).
Die Nullstelle ist ebenfalls eine einfache Nullstelle (Vielfachheit ).
Schlussfolgerung: Da beide Nullstellen von eine ungerade Vielfachheit (nämlich ) haben, sind sowohl als auch Wendestellen der Funktion . Der Graph wechselt an diesen Stellen sein Krümmungsverhalten (von links- nach rechtsgekrümmt oder umgekehrt).
Eine Nullstelle ungerader Ordnung zeigt in einen Vorzeichenwechsel und somit einen Wendepunkt an.
Ergebnis: Wendestellen bei und