Aufgabe 3
In den vergangenen Jahren hatte der Befall von Bäumen durch den Eichenprozessionsspinner in Deutschland zunehmend auch gesundheitliche Auswirkungen auf die Bevölkerung. Aus diesem Grund wird in einem stark betroffenen Gebiet regelmäßig die momentane Anzahl der Patienten, deren Erkrankungen im Zusammenhang mit dem Eichenprozessionsspinner stehen, erfasst.
Anhand dieser Fallzahlen wird die momentane Anzahl der Patienten in einem Jahr mit starken Befall zwischen Anfang Mai und Ende Juli vereinfacht durch die reelle Funktion mit modelliert. Dabei steht die Variable für die vergangene Zeit in Wochen ab dem 1. Mai () des betrachteten Jahres. Der Funktionswert von gibt die momentane Anzahl der Patienten an.
Auf das Mitführen von Einheiten während der Rechnungen wird verzichtet. Runden Sie Ihre Ergebnisse sinnvoll.
Berechnen Sie die nach dem Modell momentane Anzahl der Patienten nach elf Wochen (zum Zeitpunkt ). [2 BE]
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- Berechne .
Berechne die nach dem Modell momentane Anzahl der Patienten nach elf Wochen
Gegeben:
Berechne .
Die nach dem Modell momentane Anzahl der Patienten nach elf Wochen beträgt rund .
Den erhobenen Fallzahlen ist zu entnehmen, dass im betrachteten Zeitraum die momentane Anzahl der Patienten nach vier Wochen mit ca. ihr absolutes Maximum erreicht. Überprüfen Sie durch Rechnung, ob das verwendete Modell diese Daten annähernd widerspiegelt.
[ Mögliches Teilergebnis: ] [8 BE]
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- Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
- Berechne mit der Produkt- und Kettenregel und löse die Gleichung .
- Erstelle eine Monotonietabelle.
- Berechne den y-Wert des Hochpunktes.
- Zeige, dass es sich um einen absoluten Hochpunkt handelt.
Überprüfe durch Rechnung, ob das verwendete Modell diese Daten annähernd widerspiegelt
Bekannt: Die momentane Anzahl der Patienten nach vier Wochen mit ca. ihr absolutes Maximum erreicht.
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
Berechne mit der Produkt- und Kettenregel:
Da , folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
Der Nachweis, dass bei ein Hochpunkt vorliegt, erfolgt mit einer Monotonietabelle:
und
Die Vielfachheit der Nullstelle ist . Es gibt im Definitionsbereich nur einen einzigen Hochpunkt. Dieser ist somit absolut.
Berechne .
Alternativ kann auch mit den Rändern des Definitionsbereichs argumentiert werden. und . Der y-Wert des Hochpunktes ist der größte Wert.
Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion im Bereich in ein Koordinatensystem. Bestimmen Sie anschließend mithilfe des Graphens nachvollziehbar den Monat, in dem die momentane Anzahl der Patienten nach Erreichen des Maximalwertes erstmal wieder auf gesunken ist. Wählen Sie für die Zeichnung für beide Achsen einen geeigneten Maßstab. [5 BE]
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Teil 1
- Erstelle eine Wertetabelle.
- Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.
Teil 2
- Zeichne die Gerade .
- Die Gerade schneidet zum zweiten Mal (nach Erreichen des Maximalwertes) an der Stelle .
- Interpretiere den Wert von .
Zeichne unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion im Bereich in ein Koordinatensystem
Erstelle eine Wertetabelle.
(Die y-Werte sind auf ganze Zahlen gerundet.)
t | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 331 | 513 | 600 | 623 | 607 | 567 | 515 | 458 | 402 | 348 | 298 | 253 |
Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.
Bestimme anschließend mithilfe des Graphens nachvollziehbar den Monat, in dem die momentane Anzahl der Patienten nach Erreichen des Maximalwertes erstmal wieder auf gesunken ist
Zeichne die Gerade .
Die Gerade schneidet zum zweiten Mal (nach Erreichen des Maximalwertes) an der Stelle .
Bei liegt der 1. Mai. liegt demnach etwa in der Junimitte.
Mitte Juni ist die momentane Anzahl der Patienten nach Erreichen des Maximalwertes erstmal wieder auf gesunken.
An der Stelle ändert der Graph der Funktion sein Krümmungsverhalten von einer Rechts- in eine Linkskrümmung. Beschreiben Sie die Bedeutung dieser Stelle im Sachzusammenhang. Konkretisieren Sie Ihre Beschreibung mithilfe des Wertes .
[3 BE]
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- Eine Wendestelle ist immer eine Extremstelle der Änderungsrate.
- Berechne und interpretiere diesen Wert.
Beschreibe die Bedeutung dieser Stelle im Sachzusammenhang. Konkretisiere Deine Beschreibung mithilfe des Wertes
Bei liegt eine Wendestelle vor.
Eine Wendestelle ist immer eine Extremstelle der Änderungsrate.
Hier ist .
Der Wert ist negativ, also liegt hier die stärkste Abnahme der Anzahl der Patienten.
Zum Zeitpunkt ist die Abnahme der Anzahl der Patienten am stärksten mit rund Patienten pro Woche.