Aufgabe 1
Der Graph der Funktion mit der Definitionsmenge besitzt im Ursprung einen Terrassenpunkt und den absoluten Tiefpunkt bei . Sonst existieren keine weiteren Punkte mit waagerechter Tangente. Außerdem ist bekannt, dass die Funktionsgleichung die Form mit hat.
Bestimmen Sie die Werte der Parameter und und damit den Funktionsterm . [Mögliches Ergebnis: ] [6 BE]
Lösung anzeigen
- Gegeben:
- Berechne die 1. und 2. Ableitung.
- Für vier Unbekannte werden vier Gleichungen benötigt.
- Bekannt: besitzt im Ursprung einen Terrassenpunkt und den absoluten Tiefpunkt bei .
- Der Terrassenpunkt im Ursprung liefert die ersten drei Gleichungen.
Bestimme die Werte der Parameter und und damit den Funktionsterm
Gegeben:
Berechne die 1. und 2. Ableitung:
Für vier Unbekannte werden vier Gleichungen benötigt.
Bekannt: besitzt im Ursprung einen Terrassenpunkt und den absoluten Tiefpunkt bei . Der Terrassenpunkt im Ursprung liefert die ersten drei Gleichungen.
I | |||
II | |||
III | |||
IV |
Aus Gleichung folgt:
Aus Gleichung folgt:
Aus Gleichung folgt:
Aus Gleichung folgt:
Dann folgt für die Funktion :
Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion sowie die Koordinaten der Punkte, in denen eine waagerechte Tangente besitzt. [3 BE]
Lösung anzeigen
Teil 1
- Berechne .
Teil 2
- Bekannt: besitzt im Ursprung einen Terrassenpunkt und den absoluten Tiefpunkt bei .
- Berechne die Funktionswerte an den gegebenen Stellen.
Berechne die Nullstellen der Funktion
Berechne .
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:
(dreifache Nullstelle) oder
Berechne die Koordinaten der Punkte, in denen eine waagerechte Tangente besitzt
Bekannt: besitzt im Ursprung einen Terrassenpunkt und den absoluten Tiefpunkt bei . Demnach hat in Koordinatenursprung bei und an der Stelle eine waagerechte Tangente.
Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen für in ein kartesisches Koordinatensystem. Maßstab für beide Achsen: .
Lösung anzeigen
- Erstelle eine Wertetabelle.
- Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.
Zeichne unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen für in ein kartesisches Koordinatensystem
Erstelle eine Wertetabelle.
-1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.
Berechnen Sie . Erklären Sie, welche geometrische Bedeutung das Ergebnis bezüglich hat. Veranschaulichen Sie Ihre Erklärung in der in Aufgabe c) angefertigten Zeichnung. [4 BE]
Lösung anzeigen
Teil 1
- Berechne .
Teil 2
- Betrachte die Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen. Gib die Flächenbilanz an.
Teil 3
- Veranschauliche Deine Erklärung in der in Aufgabe c) angefertigten Zeichnung.
Berechne
Erkläre, welche geometrische Bedeutung das Ergebnis bezüglich hat
Aus der Zeichnung kann abgelesen werden:
Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse und ist wesentlich kleiner als die Fläche , die unterhalb der x-Achse liegt, sodass die Flächenbilanz insgesamt negativ ist.
Veranschauliche Deine Erklärung in der in Aufgabe c) angefertigten Zeichnung
Betrachtet wird nun die auf ganz definierte Funktion mit der Funktionsgleichung:
Begründen Sie ohne Rechnung, weshalb der Graph der Funktion keine Nullstelle besitzt. Ermitteln Sie auch . [4 BE]
Lösung anzeigen
Teil 1
- Wie sieht aus, wenn der Graph von um Einheiten in positive y-Achsenrichtung verschoben wird?
Teil 2
- Gegeben: .
- Was ergibt dann ?
- Berechne das Integral.
Begründe ohne Rechnung, weshalb der Graph der Funktion keine Nullstelle besitzt
Wird um Einheiten in positive y-Achsenrichtung verschoben, befindet sich der absolute Tiefpunkt oberhalb der x-Achse. Demnach kann es keinen Schnittpunkt mit der x-Achse geben, d. h. es gibt keine Nullstellen.
Ermittle auch
Gegeben:
Dann ist