Aufgabe 1
Gegeben ist die Funktion mit ihrer maximalen Definitionsmenge .
Die folgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt ihres Graphen .
Geben Sie und die Gleichung der senkrechten Asymptote von an. Ermitteln Sie auch die Koordinaten des Schnittpunktes von mit der y-Achse. [3 BE]
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Teil 1
- Wann wird der Nenner gleich null?
Teil 2
- An der Stelle, an der der Nenner gleich null ist, befindet sich eine senkrechte Asymptote.
Gib und die Gleichung der senkrechten Asymptote von an
Der Nenner wird null für .
hat eine senkrechte Asymptote an der Stelle .
Ermittle auch die Koordinaten des Schnittpunktes von mit der y-Achse
Es ist .
Berechnen Sie die Gleichung der schrägen Asymptote von . Untersuchen Sie anschließend rechnerisch, ob sich für der schrägen Asymptote von oben oder von unten nähert.
Zeichnen Sie alle Asymptoten von in das Koordinatensystem ein. [5 BE]
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Teil 1
- Multipliziere den Zähler aus und führe eine Polynomdivision durch.
- Gib die Gleichung der schrägen Asymptote an.
Teil 2
- Berechne .
Teil 3
- Zeichne alle Asymptoten in die Abbildung ein.
Berechne die Gleichung der schrägen Asymptote von
Multipliziere den Zähler aus:
Polynomdivision:
Die schräge Asymptote hat somit die Gleichung .
Untersuche rechnerisch, ob sich für der schrägen Asymptote von oben oder von unten nähert
Es gilt: nähert sich der Asymptote von oben.
Zeichne alle Asymptoten von in das Koordinatensystem ein
Eingezeichnet: schräge Asymptote und senkrechte Asymptote .
ist eine Stammfunktion von mit . Ihr Graph wird mit bezeichnet.
Entscheiden Sie, ob die folgenden fünf Aussagen wahr (w), falsch (f) oder nicht entscheidbar (n. e.) sind. Nutzen Sie hierfür die Graphik aus der Aufgabenstellung.
Hinweis: Jede falsch beantwortete Aussage wird mit BE und jede richtig beantwortete Aussage mit BE bewertet. Im ungünstigsten Fall wird die Aufgabe mit BE gewertet.
Aussage | w (wahr) | f (falsch) | n. e. (nicht entscheidbar) |
|---|---|---|---|
ist streng monoton steigend in . | |||
hat bei einen relativen Hochpunkt. | |||
Der Wert ist negativ. | |||
Für gilt: | |||
verläuft durch den Koordinatenursprung. |
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- 1 In welchem Bereich ist negativ und wo positiv?
- 2 Betrachte . Welchen Wert hat und was bedeutet das für ? Beachte . Untersuche einen VZW der Funktion bei . Was bedeutet das für ?
- 3 Vergleiche die Flächen zwischen und der x-Achse im Intervall und .
- 4 Welchen Grad hat der Zähler von im Vergleich zum Nenner? Was bedeutet das für die Funktion ? Wie verhält sich die Funktion für gegen unendlich?
- 5 Beachte die Integrationskonstante.
Aussage | w (wahr) | f (falsch) | n. e. (nicht entscheidbar) |
|---|---|---|---|
ist streng monoton steigend in . | x | ||
hat bei einen relativen Hochpunkt. | x | ||
Der Wert ist negativ. | x | ||
Für gilt: | x | ||
verläuft durch den Koordinatenursprung. | x |
- ist streng monoton steigend in .
Eine Stammfunktion ist streng monoton steigend in einem Intervall, wenn ihre Ableitung in diesem Intervall (fast überall) größer als Null ist. Da eine Stammfunktion von ist, gilt:
Die Monotonie von hängt also direkt vom Vorzeichen der Funktion ab, nicht von deren Steigung.
Da im Bereich negativ ist, ist die Stammfunktion dort streng monoton fallend. Erst im Bereich ist positiv und somit steigend. Die pauschale Aussage für das gesamte Intervall ist daher falsch.
- hat bei einen relativen Hochpunkt.
Ein relativer Hochpunkt von an der Stelle setzt zwei Bedingungen voraus:
Notwendige Bedingung:
Hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel (VZW) von bei von .
Analyse von als Ableitungsfunktion
Nullstelle: Da eine Stammfunktion von ist, gilt . Dem Graphen G_f entnimmst Du, dass ist. Damit ist die notwendige Bedingung erfüllt.
Vorzeichenwechsel: Betrachte das Vorzeichen von in der Umgebung von :
Für (z. B. ): Der Zähler ist , der Nenner ist . Das Gesamtergebnis ist positiv ().
Für (z. B. ): Der Zähler ist , der Nenner bleibt . Das Gesamtergebnis ist negativ ().
Da an der Stelle einen Vorzeichenwechsel von aufweist, besitzt die Stammfunktion dort einen relativen Hochpunkt. Die Aussage ist wahr.
- Der Wert ist negativ.
Wie im Graphen zu sehen ist, verläuft die Funktion im Intervall unterhalb der x-Achse (negativer Flächenbeitrag) und im Intervall oberhalb der x-Achse (positiver Flächenbeitrag). Der positive Teil überwiegt hierbei, sodass das Gesamtintegral positiv ausfällt. Die Aussage ist falsch.
- Für gilt:
Eine Stammfunktion der Funktion wächst für gegen , da der Grad des Zählers von größer ist als der des Nenners ist. Die Aussage ist falsch.
- verläuft durch den Koordinatenursprung.
Aufgrund der Integrationskonstante ist nicht entscheidbar, ob durch den Koordinatenursprung verläuft.
Gegeben ist die Funktion mit ihrer Definitionsmenge .
Ihr Graph wird mit bezeichnet.
Begründen Sie, dass die Aussage " hat genau einen Extrempunkt" falsch ist.
[3 BE]
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- Berechne mit der Quotientenregel und Kettenregel die 1. Ableitung und löse die Gleichung .
- Schließe von der Vielfachheit der Nullstelle auf die Existenz eines lokalen Extremums.
Begründe, dass die Aussage " hat genau einen Extrempunkt" falsch ist
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
Berechne mit der Quotientenregel und Kettenregel die 1. Ableitung und löse die Gleichung .
berechne die Nullstellen des Zählerterms:
Umformung: + \ln(x^2)
Umformung: e^{()}
Umformung: \sqrt{}
Du hast die beiden Lösungen und erhalten. Es handelt sich um einfache Nullstellen. Ist die Nullstelle einfach (Vielfachheit ), dann liegt dort ein lokales Extremum (Hoch- oder Tiefpunkt) vor. Demnach hat genau zwei Extremstellen und die Aussage ist falsch.
Anmerkung: Die Untersuchung mit einer Monotonietabelle ist dagegen ohne Taschenrechner schwierig.
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Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
Ein Ursprung (oder die Stelle ) kann bei einer punktsymmetrischen Funktion nie ein lokales Extremum sein. Da alle anderen Extrema durch die Spiegelung immer zwingend in Paaren auftreten ( und ), besitzt jede punktsymmetrische Funktion immer eine gerade Anzahl von Extremalstellen. (In diesem Fall genau .)
Die Aussage " hat genau einen Extrempunkt" ist demnach falsch.