Gegeben ist die ganzrationale Funktion mit und der Definitionsmenge . Der Graph der Funktion in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit bezeichnet.
Geben Sie das Verhalten der Funktionswerte von für an. [2 BE]
Lösung anzeigen
- Berechne und .
Gib das Verhalten der Funktionswerte von für an
Ermitteln Sie jeweils die Art und die Koordinaten der Punkte von mit waagrechter Tangente. [8 BE]
Lösung anzeigen
- Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
- Bilde die 1. Ableitung und löse die Gleichung .
- Finde eine Lösung durch Probieren .
- Führe eine Polynomdivision durch.
- Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen und .
- Vergleiche die beiden Lösungen mit .
- Erstelle eine Monotonietabelle.
- Führe den Nachweis für einen Terrassenpunkt ().
- Gib die Koordinaten für und an.
Ermittle jeweils die Art und die Koordinaten der Punkte von mit waagrechter Tangente
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
Bilde die 1. Ableitung und löse die Gleichung .
Finde eine Lösung durch Probieren, z. B. :
Führe eine Polynomdivision durch:
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du
nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.
Setze und ein.
Fasse zusammen.
Ziehe die Wurzel.
und
Somit gibt es eine einfache Nullstelle bei und eine doppelte Nullstelle bei (Verdacht auf einen Terrassenpunkt.)
Erstelle eine Monotonietabelle:
Der relative Hochpunkt ist auch ein absoluter Hochpunkt, da an keiner Stelle einen höheren y-Wert hat. Vergleiche auch das Ergebnis aus Aufgabe a).
Nachweis Terrassenpunkt ():
Alternativ kann der Nachweis des Terrassenpunktes über einen Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung bei erfolgen.
.
Zeigen Sie, dass die Gerade mit und durch die beiden Wendepunkte von verläuft. [6 BE]
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- Berechne .
- Der zuvor gefundene Terrassenpunkt ist auch ein Wendepunkt.
- Führe den Nachweis für den 2. Wendepunkt.
- Prüfe, ob und .
Zeige, dass die Gerade mit und durch die beiden Wendepunkte von verläuft
Berechne :
Der Terrassenpunkt bei ist auch ein Wendepunkt .
Bei existiert ein weiterer Wendepunkt, wenn :
Die beiden Wendepunkte sollen auf der Geraden liegen.
Demnach muss gelten:
und
Beide Wendepunkte liegen auf .
Zeichnen Sie und unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse sowie weiterer geeigneter Funktionswerte für in ein kartesisches Koordinatensystem. Maßstab für beide Achsen . [5 BE]
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- Erstelle eine Wertetabelle.
- Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.
- Zeichne auch ein.
Zeichne und unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte für in ein kartesisches Koordinatensystem
Erstelle eine Wertetabelle:
-3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.
Zeichne auch ein.
Die Gerade schließt mit im Bereich ein endliches Flächenstück ein.
Markieren Sie dieses Flächenstück in Ihrer Zeichnung in Aufgabe d) und berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhalts. [5 BE]
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Teil 1
- Markiere die Fläche in Deiner Zeichnung.
Teil 2
- Berechne .
Markiere dieses Flächenstück in Deiner Zeichnung in Aufgabe d)
Berechne die Maßzahl seines Flächeninhalts
Die Maßzahl seines Flächeninhalts beträgt .