Ein Pflanzgefäß hat die Form eines umgedrehten geraden Kreiskegelstumpfes, dessen Querschnittsfläche ein Trapez ist (siehe nachfolgende nicht maßstabsgetreue Skizzen).
Der obere Kreisradius ist dreimal so groß wie der untere Kreisradius . Die Länge der Seitenkante beträgt . Vorgaben der Produktion legen fest, dass die Höhe des Pflanzgefäßes mindestens und höchstens beträgt. Die Dicke der „Wände“ darf bei den weiteren Betrachtungen vernachlässigt werden.
Bei den Berechnungen kann auf das Mitführen von Einheiten verzichtet werden.
Ohne Nachweis darf verwendet werden, dass für das Volumen dieses geraden
Kreiskegelstumpfes gilt:
Zeigen Sie, dass für das Volumen des Pflanzgefäßes in Abhängigkeit von der Höhe gilt: [3 BE]
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- Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras.
- Löse nach auf und setze in ein.
Zeige, dass für das Volumen des Pflanzgefäßes in Abhängigkeit von der Höhe gilt:
Zielfunktion:
Nebenbedingung: Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras
in die Zielfunktion eingesetzt
Bestimmen Sie den Wert für die Höhe des Pflanzgefäßes so, dass das Volumen des Pflanzgefäßes maximal ist. Berechnen Sie das maximale Volumen sowie den dazugehörigen oberen Durchmesser des Pflanzgefäßes. [6 BE]
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Teil 1
- Nach Aufgabenstellung gilt für . ( ist von abhängig.)
- Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
- Bilde die 1. Ableitung und löse die Gleichung und .
- Prüfe, ob und ?
- Berechne eventuell die Funktionswerte an den Rändern des Definitionsbereiches.
- Finde das maximale Volumen.
Teil 2
- Berechne mit der gefundenen Höhe den Radius , dann den Radius und schließlich den Durchmesser .
Bestimme den Wert für die Höhe des Pflanzgefäßes so, dass das Volumen des Pflanzgefäßes maximal ist und berechne das maximale Volumen
Nach Aufgabenstellung gilt für . ( ist von abhängig.)
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
Bilde die 1. Ableitung und löse die Gleichung .
(Entfällt, da die Höhe nicht negativ sein kann.)
Es gibt keine Extremwerte innerhalb des Definitionsbereiches. Es liegt ein Randmaximum vor. Berechne die Funktionswerte an den Rändern des Definitionsbereiches.
ist streng monoton fallend in . Demnach liegt das absolute Maximum am linken Rand von .
Das Volumen des Pflanzgefäßes ist maximal für eine Höhe des Pflanzgefäßes von . Das maximale Volumen beträgt rund
Berechne den dazugehörigen oberen Durchmesser des Pflanzgefäßes
Da
Der obere Durchmesser des Pflanzgefäßes beträgt .