Die Population eines bestimmten Bienenvolkes von Beginn des Monats März bis Ende Oktober kann näherungsweise durch die Funktion mit der Funktionsgleichung mit modelliert werden. Ab Ende Oktober verändert sich die Anzahl der Bienen in diesem Volk nach anderen Gesetzmäßigkeiten und soll im Folgenden nicht weiter betrachtet werden. Die Variable im Funktionsterm steht für die seit Beobachtungsbeginn Anfang März () vergangene Zeit in Wochen. Der Funktionswert gibt die Anzahl der Bienen in Tausend zum Zeitpunkt an. Bei den Berechnungen kann auf das Mitführen von Einheiten verzichtet werden.
Geben Sie die Anzahl der Bienen zu Beobachtungsbeginn an und berechnen Sie, wie viele Bienen das Volk fünf Wochen nach Beobachtungsbeginn zählt. [3 BE]
Lösung anzeigen
- Berechne .
- Berechne .
- Beachte, dass die Anzahl der Bienen in Tausend angibt.
Gib die Anzahl der Bienen zu Beobachtungsbeginn an
Berechne
Da die Anzahl der Bienen in Tausend angibt, gibt es zu Beobachtungsbeginn Bienen.
Berechne, wie viele Bienen das Volk fünf Wochen nach Beobachtungsbeginn zählt
Berechne:
Das Volk zählt fünf Wochen nach Beobachtungsbeginn rund Bienen.
Ermitteln Sie, nach wie vielen Wochen die Anzahl der Bienen im Beobachtungszeitraum das absolute Maximum erreicht hat und berechnen Sie diese maximale Bienenanzahl.
[Mögliches Teilergebnis: ] [8 BE]
Lösung anzeigen
- Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
- Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung und löse die Gleichung und
- Begründe, warum nur eine Extremstelle ist.
- Berechne den Funktionswert an der Stelle .
Ermittle, nach wie vielen Wochen die Anzahl der Bienen im Beobachtungszeitraum das absolute Maximum erreicht hat
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung und löse die Gleichung .
Weil für alle folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
und
Da der Bestand von an zunächst zunimmt, kann bei nicht das Maximum liegen. Bei liegt ein relatives Maximum vor.
Weiterhin ist
(Die Exponentialfunktion strebt viel schneller gegen null, als die Potenzfunktion gegen unendlich wächst.)
Demnach handelt es sich bei um das absolute Maximum von .
Berechne den Funktionswert an der Stelle .
Berechne diese maximale Bienenanzahl
Die maximale Bienenanzahl im Volk beträgt nach Wochen rund Bienen.
Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion im angegebenen Definitionsbereich in ein Koordinatensystem. Bestimmen Sie anschließend mithilfe des Graphen nachvollziehbar den Monat, in welchem die Anzahl der Bienen im Volk erstmals beträgt.
Maßstab: Wochen ; Bienen = . [5 BE]
Lösung anzeigen
Teil 1
- Erstelle eine Wertetabelle.
- Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.
Teil 2
- Zeichne eine Gerade in die Abbildung ein und lies die -Koordinate des ersten Schnittpunktes der Geraden mit ab.
Zeichne unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion im angegebenen Definitionsbereich in ein Koordinatensystem
Erstelle eine Wertetabelle:
0 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 35 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
5 | 20,89 | 43,55 | 57,61 | 61,73 | 58,76 | 51,96 | 43,77 | 35,71 | 30,25 |
Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.
Bestimme mithilfe des Graphen nachvollziehbar den Monat, in welchem die Anzahl der Bienen im Volk erstmals beträgt
Zeichne eine Gerade in die Abbildung ein und lies die -Koordinate des ersten Schnittpunktes der Geraden mit ab.
Abgelesen: (Nur der erste Schnittpunkt ist gesucht.)
Nach rund 9,5 Wochen erreicht die Anzahl der Bienen im Volk erstmals .
Da die Zeitrechnung mit Beginn des Monats März anfängt, erreicht die Anzahl der Bienen im Volk erstmals im Monat Mai.
An der Stelle ändert der Graph der Funktion sein Krümmungsverhalten von einer Links- in eine Rechtskrümmung. Weiterhin gilt .
Interpretieren Sie die beiden Werte im Sachzusammenhang. [2 BE]
Lösung anzeigen
- Welche Stelle liegt vor, wenn der Graph sein Krümmungsverhalten ändert?
- Was ändert sich an dieser Stelle am stärksten?
Interpretiere die beiden Werte im Sachzusammenhang
An der Stelle ändert der Graph der Funktion sein Krümmungsverhalten bei liegt eine Wendestelle vor. Hier ist die Wachstumsgeschwindigkeit der Bienenanzahl am größten.
Es ist die maximale Wachstumsgeschwindigkeit entspricht etwa Bienen pro Woche.