Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge . Der Graph von in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit bezeichnet.
Untersuchen Sie die Funktion auf Nullstellen. [4 BE]
Lösung anzeigen
- Löse die Gleichung .
- Finde eine Lösung durch Probieren.
- Polynomdivision durch neue Gleichung, die gleich null sein soll.
- Überprüfe die Lösbarkeit der nun gefundenen Gleichung mit der Diskriminante.
Untersuche die Funktion auf Nullstellen
Löse die Gleichung :
Finde eine Lösung durch Probieren.
Prüfe z. B.
ist eine Nullstelle.
Gibt es weitere Nullstellen?
Löse nun die Gleichung . Überprüfe die Lösbarkeit dieser Gleichung mit der Diskriminante.
Wegen gibt es keine weiteren Nullstellen, d. h. ist die einzige Nullstelle von .
Ermitteln Sie jeweils die Art und die Koordinaten der relativen Extrempunkte von . [5 BE]
Lösung anzeigen
Ermittle jeweils die Art und die Koordinaten der relativen Extrempunkte von
Gegeben:
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
Bilde die 1. Ableitung:
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst Du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel:
Setze und ein.
und
Berechne die Funktionswerte an den Stellen und :
Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist .
Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen für in ein kartesisches Koordinatensystem.
Maßstab für beide Achsen: [4 BE]
Lösung anzeigen
- Erstelle eine Wertetabelle.
- Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.
Zeichne unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen für in ein kartesisches Koordinatensystem
Erstelle eine Wertetabelle.
Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.
x | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Der Graph der Funktion und die Gerade mit der Gleichung schließen
zusammen mit den Koordinatenachsen im I. Quadranten des Koordinatensystems ein endliches Flächenstück ein. Kennzeichnen Sie dieses Flächenstück in Ihrer Zeichnung aus Teilaufgabe c) und berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhalts. [4 BE]
Lösung anzeigen
Teil 1
- Kennzeichne die gesuchte Fläche in der Abbildung.
Teil 2
- Berechne
Kennzeichne dieses Flächenstück in Deiner Zeichnung aus Teilaufgabe c)
Berechne die Maßzahl seines Flächeninhalts
Die Maßzahl seines Flächeninhalts beträgt rund .