Gegeben ist die reelle Differenzialgleichung mit . Ermitteln Sie die allgemeine Lösung dieser Differenzialgleichung. [7 BE]
Lösung anzeigen
- Führe eine Trennung der Variablen durch.
- Für die Lösung des einen Integrals führe eine Partialbruchzerlegung durch.
Gegeben:
Für ist , sodass durch geteilt werden darf.
Umformung: :(y^2-y)|\cdot\mathrm{d}x
Trennung der Variablen.
Umformung: \displaystyle\int
Integriere auf beiden Seiten.
Zwischenschritt:
Es ist .
Führe eine Partialbruchzerlegung durch:
Umformung: \cdot y\cdot(y-1)
Koeffizientenvergleich liefert:
und
Demnach ist .
Nun kann das linke Integral berechnet werden:
Für das rechte Integral folgt:
Damit erhältst Du die folgende Gleichung:
Wegen und diese Gleichung muss gelöst werden.
Umformung: e^{()}
Löse nach auf.
Setze (wobei ist).
Umformung: +\dfrac{1}{y} |-C e^{-x^2}
Bilde den Kehrwert und tausche die Seiten.
Damit erfüllt bleibt, muss der Nenner positiv und kleiner als sein, was bedeutet. Da maximal und minimal fast werden kann, folgt .
Die allgemeine Lösung dieser Differenzialgleichung ist mit .