Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge . Der Graph dieser Funktion wird mit bezeichnet.
Geben Sie die Nullstelle von an und untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte für und . [5 BE]
Lösung anzeigen
Teil 1
- Löse die Gleichung .
Teil 2
- Berechne und .
Gib die Nullstelle von an
Gegeben:
Die Nullstelle von ist .
Untersuche das Verhalten der Funktionswerte für und
und
Man kann zeigen, dass gilt: (Nachweis nicht erforderlich). Bestimmen Sie das Monotonieverhalten von (Hinweis: Die Substitution kann hilfreich sein). [6 BE]
Lösung anzeigen
- Löse die Gleichung , verwende die Substitution .
- Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.
- Erstelle eine Monotonietabelle und gib das Monotonieverhalten von an.
Bestimme das Monotonieverhalten von
Gegeben:
Löse die Gleichung
Verwende die Substitution
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du
nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel:
Setze und ein.
Vereinfache.
Du erhältst die beiden Lösungen und .
Rücksubstitution:
keine Lösung, da stets größer null ist oder
.
und
Erstelle eine Monotonietabelle:
ist im Intervall streng monoton steigend und im Intervall streng monoton fallend.
hat an der Stelle einen Hochpunkt.
Gegeben ist die Integralfunktion mit . Begründen Sie, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist: „Der Graph von besitzt einen absoluten Tiefpunkt.“. [3 BE]
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- Eine Stammfunktion besitzt überall dort eine Extremstelle, wo ihre Ableitung eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel aufweist.
- Nach Aufgabe a) ist die Nullstelle von .
- Überprüfe den Vorzeichenwechsel von an der Stelle .
Begründe, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist: „Der Graph von besitzt einen absoluten Tiefpunkt.“
Eine Stammfunktion besitzt überall dort eine Extremstelle, wo ihre Ableitung eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel aufweist. Da ist, brauchst Du die Nullstellen der Funktion Nach Aufgabe a) ist die Nullstelle von .
Überprüfe den Vorzeichenwechsel von an der Stelle :
Für ist , woraus folgt. Somit ist hier .
Für ist , woraus folgt. Somit ist hier .
Da an der Stelle einen Vorzeichenwechsel von hat, liegt ein Minimum vor. Da für alle Werte links von steigt und für alle Werte rechts von steigt, muss an der Stelle ein globales Minimum vorliegen.
Die Aussage ist wahr.
Ermitteln Sie (z. B. mithilfe der Substitution ) die integralfreie Darstellung einer Stammfunktion von . [7 BE]
Lösung anzeigen
- Berechne zunächst das Integral . Dabei ist .
- Bei der Berechnung des Integrals hilft eine Polynomdivision.
- Du erhältst eine Stammfunktion für dieses Integral.
- Berechne dann .
Ermittle die integralfreie Darstellung einer Stammfunktion von
Berechne .
Es wird zunächst das Integral berechnet:
Dabei ist
Weiterhin sind und .
Dann folgt für das Integral:
Es gilt:
Demnach ist
Durch Resubstitution erhältst Du eine Stammfunktion:
(mit )
Die integralfreie Darstellung einer Stammfunktion von ist: