Die Funktion ist in der Definitionsmenge differenzierbar und hat genau eine Nullstelle sowie genau eine Wendestelle. Ein Ausschnitt ihres Graphen und der Tangente am Graphen von im Punkt ist in der nebenstehenden Abbildung dargestellt.
Benötigte Werte dürfen der Abbildung entnommen werden.
Betrachtet wird zunächst die Funktion mit der maximalen Definitionsmenge . Geben Sie an und bestimmen Sie so genau wie möglich. [4 BE]
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Teil 1
- Aus der Abbildung kannst Du entnehmen, dass ist.
- Wie verhält sich für ?
Teil 2
- Gegeben: und .
- Aus der Abbildung kannst Du die Steigung von ablesen.
- Berechne und setze ein.
Gib an
Gegeben: Die Funktion hat genau eine Nullstelle.
Für ist die Funktion immer negativ.
Aus der Abbildung kannst Du entnehmen, dass ist und für ist . Demnach ist .
Bestimme so genau wie möglich
Gegeben: und .
Aus der Abbildung kannst Du die Steigung von ablesen:
Berechne die 1. Ableitung von :
Es ist .
Gegeben ist die Funktion mit und der Definitionsmenge .
Schätzen Sie näherungsweise die x- und die y-Koordinate eines Wendepunkts des Graphen von auf nachvollziehbare Weise ab. [3 BE]
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Schätze näherungsweise die x- und die y-Koordinate eines Wendepunkts des Graphen von auf nachvollziehbare Weise ab
Es ist
Hat an der Stelle ein Extremum, dann hat an dieser Stelle einen Wendepunkt.
hat bei ein Extremum hat dann bei einen Wendepunkt.
Der Wendepunkt hat die Koordinaten , also ist .
Die Fläche kann durch Rechtecke abgeschätzt werden:
Die gesuchte Fläche, d. h. der y-Wert vom Wendepunkt , ist .
Also und .