Bei der Milchsäuregärung wandeln Bakterien die in Milch befindliche Laktose in Milchsäure um. Die Funktion mit und gibt die Milchsäurekonzentration in Abhängigkeit der Zeit an. Dabei wird in Gramm pro Liter gemessen und gibt die Zeit in Stunden an, die seit Beobachtungsbeginn vergangen ist. Bei Rechnungen kann auf die Verwendung von Einheiten verzichtet werden. Runden Sie Ihre Ergebnisse gegebenenfalls auf eine Nachkommastelle.
In einem Laborversuch wird die Milchsäurekonzentration von einem Liter Milch stündlich gemessen. Zu Beobachtungsbeginn () beträgt die Milchsäurekonzentration Gramm pro Liter und drei Stunden nach Beobachtungsbeginn Gramm pro Liter.
Berechnen Sie die Werte der Parameter und so, dass die Modellfunktion mit diesen beiden Messwerten im Einklang steht.
[3 BE]
Lösung anzeigen
- Gegeben:
- Es ist berechne .
- Weiterhin gilt: berechne .
Berechne die Werte der Parameter und so, dass die Modellfunktion mit diesen beiden Messwerten im Einklang steht
Gegeben:
Es ist
Dann ist und
Umformung: \cdot(1+9\cdot e^{b\cdot 3})
Löse nach auf.
Umformung: :5
Umformung: -1
Umformung: :9
Umformung: \ln
Kürze.
Demnach ist .
Im Folgenden gilt und . Somit ergibt sich mit .
Der Graph von wird mit bezeichnet.
1 Zeigen Sie, dass die Milchsäurekonzentration nach diesem Modell stets zunimmt.
[ Mögliches Teilergebnis: ] [4 BE]
2 Für die zweite Ableitungsfunktion gilt
mit (Nachweis nicht erforderlich). Ermitteln Sie den Zeitpunkt , zu dem die erste Ableitungsfunktion ein absolutes Maximum besitzt. Berechnen Sie die Differenz und interpretieren Sie diesen Wert im Sachzusammenhang. [6 BE]
3 Zeichnen Sie im Bereich in ein Koordinatensystem. Wählen Sie auf beiden Achsen einen geeigneten Maßstab. Kennzeichnen Sie auch die Differenz in Ihrer Abbildung. [4 BE]
4 Weisen Sie nach, dass die Funktion mit der Definitionsmenge eine Stammfunktion von ist. [3 BE]
5 Die durchschnittliche Milchsäurekonzentration in über einen Zeitraum in Stunden beträgt . Berechnen Sie die durchschnittliche Milchsäurekonzentration in dieser Milchprobe in den ersten sechs Beobachtungsstunden. [3 BE]
Lösung anzeigen
1
- Berechne mit der Quotientenregel und Kettenregel.
- Wie verhalten sich Zähler und Nenner von ? Was folgt daraus für ?
2
- Löse die Gleichung
- Da das Maximum gesucht ist, erstelle eine Monotonietabelle.
- Beachte die Vielfachheit der Nullstelle.
- Welche Aussage liefert ?
- Berechne die Differenz .
- Was passiert im Zeitraum von bis ?
3
- Erstelle eine Wertetabelle.
- Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.
- Kennzeichne auch die Differenz in der Abbildung.
4
- Es muss gelten: .
- Bilde die 1. Ableitung von mit der Kettenregel.
- Führe eine Termumformung durch, indem Du mit erweiterst.
5
- Berechne:
1 Zeige, dass die Milchsäurekonzentration nach diesem Modell stets zunimmt
Berechne mit der Quotientenregel und Kettenregel:
Es gilt: und ist streng monoton steigend für alle .
Die Milchsäurekonzentration nimmt nach diesem Modell stets zu.
2 Ermittle den Zeitpunkt , zu dem die erste Ableitungsfunktion ein absolutes Maximum besitzt
Gegeben:
Löse die Gleichung :
nur der Zähler des Bruches kann null werden.
Umformung: +9\cdot e^{-0,9\cdot t}
Löse nach auf.
Umformung: :9
Umformung: \ln
Umformung: :(-0,9)
Vertausche die Seiten.
Beachte .
Da das Maximum gesucht ist, erstelle eine Monotonietabelle:
Die Vielfachheit der Nullstelle ist gleich . Da die Vielfachheit ungerade ist, handelt es sich um ein Extremum.
Es ist:
Dann gilt:
Das Maximum ist absolut, da ist.
Es ist und .
Der Zeitpunkt , zu dem die erste Ableitungsfunktion ein absolutes Maximum besitzt, ist Stunden.
Berechne die Differenz
Es ist
Interpretiere diesen Wert im Sachzusammenhang
Im Zeitraum von bis findet eine Zunahme der Milchsäurekonzentration von rund statt.
3 Zeichne im Bereich in ein Koordinatensystem
Erstelle eine Wertetabelle.
Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.
Kennzeichne auch die Differenz in der Abbildung.
4 Weise nach, dass die Funktion mit der Definitionsmenge eine Stammfunktion von ist
Gegeben:
Es muss gelten:
Bilde die Ableitung mit der Kettenregel:
Termumformung:
Erweitere mit .
Es ist also . Demnach ist eine Stammfunktion von .
5 Berechne die durchschnittliche Milchsäurekonzentration in dieser Milchprobe in den ersten sechs Beobachtungsstunden
Gegeben:
Berechne:
Die durchschnittliche Milchsäurekonzentration in dieser Milchprobe in den ersten sechs Beobachtungsstunden beträgt rund .