Gegeben ist die Funktion mit ihrer Definitionsmenge . Der Graph der Funktion heißt . Er besitzt eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung . Die erste Ableitungsfunktion hat die Gleichung mit der Definitionsmenge .
Berechnen Sie die exakten Nullstellen von und ermitteln Sie das Verhalten der Funktionswerte von an den Rändern von . [6 BE]
Lösung anzeigen
Berechne die exakten Nullstellen von
Löse die Gleichung :
Verwende den Satz vom Nullprodukt:
Die exakten Nullstellen von sind und .
Ermittle das Verhalten der Funktionswerte von an den Rändern von
Gegeben:
Verhalten der Funktionswerte von am linken Rand:
,
Verhalten der Funktionswerte von am rechten Rand:
,
Die Abbildung zeigt Ausschnitte der Graphen und der Ableitungsfunktionen und mit .
Die einzige Nullstelle von ist und die einzige Nullstelle von ist .
Geben Sie mithilfe der
Abbildung die maximalen
Monotonieintervalle von , sowie die maximalen Intervalle, in denen links- bzw. rechtsgekrümmt ist, an.
Begründen Sie, dass der Extrempunkt von ein absoluter Hochpunkt ist. Bestimmen Sie
jeweils die Koordinaten des Hochpunktes und des Wendepunktes von . [6 BE]
Lösung anzeigen
Teil 1
- Entnimm der Abbildung die entsprechenden Intervalle.
Teil 2
- Wie verhält sich an den Rändern des Definitionsbereichs? Folgerung für den Hochpunkt?
Teil 3
- Berechne und .
Gib mithilfe der Abbildung die maximalen Monotonieintervalle von , sowie die maximalen Intervalle, in denen links- bzw. rechtsgekrümmt ist, an
Entnimm der Abbildung die entsprechenden Intervalle:
ist streng monoton steigend in und streng monoton fallend in .
ist rechtsgekrümmt in (hier ist ) und linksgekrümmt in (hier ist ).
Begründe, dass der Extrempunkt von ein absoluter Hochpunkt ist
Gegeben: Die erste Ableitungsfunktion hat die Gleichung .
für . Aus der Abbildung folgt ist kleiner null an der Stelle .
Da an beiden Rändern des Definitionsbereiches gegen minus unendlich geht, ist der Hochpunkt ein absoluter Hochpunkt.
Bestimme jeweils die Koordinaten des Hochpunktes und des Wendepunktes von
Hochpunkt:
Wendepunkt:
An der Stelle geht von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung über. An dieser Stelle befindet sich also ein Wendepunkt.
Berechnen Sie das bestimmte Integral .
Das bestimmte Integral kann geometrisch als Maßzahl eines Flächenstücks im Koordinatensystem von Aufgabe b) interpretiert werden. Kennzeichnen Sie diese Fläche in b). [4 BE]
Lösung anzeigen
Teil 1
- Berechne .
Teil 2
- Markiere die Fläche in der Abbildung.
Berechne das bestimmte Integral
Das bestimmte Integral hat ungefähr den Wert .
Kennzeichne diese Fläche in b)
Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an im Punkt . [3 BE]
Lösung anzeigen
- und .
Ermittle eine Gleichung der Tangente an im Punkt
Es ist
Setze die Koordinaten von ein:
Eine Gleichung der Tangente an im Punkt lautet .
Zeichnen Sie und im Bereich in ein kartesisches Koordinatensystem.
Kennzeichnen Sie den Wendepunkt und geben Sie eine Gleichung der Tangente im absoluten Hochpunkt an. Verwenden Sie eine eigene Seite für die Zeichnung. Maßstab für beide Achsen: . [7 BE]
Lösung anzeigen
- Zeichne und in ein Koordinatensystem.
- Kennzeichne den Wendepunkt.
- Gib die Tangentengleichung im Hochpunkt an.
Zeichne und im Bereich in ein kartesisches Koordinatensystem, kennzeichne den Wendepunkt
Gib eine Gleichung der Tangente im absoluten Hochpunkt an
Die Gleichung der Tangente im Hochpunkt ist y=.