Die nebenstehende Skizze zeigt ein breites und langes Kinderbecken, welches an der Vorder- und Rückseite wasserdicht verschlossen ist (nicht in der Abbildung dargestellt).
Die untenstehende Abbildung zeigt in einem kartesischen Koordinatensystem modellhaft den Querschnitt des Kinderbeckens, dessen obere Begrenzungslinie durch den Graphen der Funktion mit der Definitionsmenge beschrieben wird. Die Koordinaten und sind Längenangaben mit der Einheit Meter. Bei Rechnungen kann auf das Mitführen von Einheiten verzichtet werden. Runden Sie Ihre Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.
Zeigen Sie rechnerisch, dass symmetrisch zur y-Achse verläuft. [3 BE]
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- Zeige, dass ist.
Zeige rechnerisch, dass symmetrisch zur y-Achse verläuft
Es ist
Beachte den Definitionsbereich . Dieser ist auch symmetrisch zu und somit auch symmetrisch zur y-Achse.
Symmetrie zur y-Achse
Laut einer neuen Verordnung darf der Boden von Kinderbecken eine maximale Steigung von nicht überschreiten. Überprüfen Sie, ob die neue Verordnung eingehalten wird.
[ Mögliche Teilergebnisse: ] [10 BE]
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- Berechne und mit der Quotientenregel.
- Löse die Gleichung .
- Prüfe auf Maximum.
- Vergleiche mit .
Überprüfe, ob die neue Verordnung eingehalten wird
Berechne und mit der Quotientenregel:
Die maximale Steigung erhältst Du für (Steigung im Wendepunkt):
Du erhältst die Lösungen .
Wegen der Symmetrie muss nur ein Wert betrachtet werden.
ist eine Nullstelle von mit Vorzeichenwechsel von , also ein Maximum. (Der Nenner von ist größer null und der Zähler ist eine nach unten geöffnete Parabel.)
Dann ist
Die neue Verordnung wird eingehalten.
Das bestimmte Integral kann geometrisch als Maßzahl eines Flächenstückes im Koordinatensystem der Aufgabe 1 interpretiert werden. Kennzeichnen Sie das Flächenstück in der Aufgabe 1 und schätzen Sie den Wert der zugehörigen Flächenmaßzahl durch geometrische Betrachtung näherungsweise ab.
Die maximale Wassertiefe im Kinderbecken soll betragen. Ermitteln Sie mithilfe Ihres Schätzwertes einen Näherungswert für das dafür benötigte Wasservolumen in. [4 BE]
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Teil 1
- Kennzeichne die Fläche.
Teil 2
- Die Fläche ist ungefähr ein Rechteck mit den Seitenlängen und .
- Für das Volumen gilt:
Kennzeichne das Flächenstück in der Aufgabe 1 und schätze den Wert der zugehörigen Flächenmaßzahl durch geometrische Betrachtung näherungsweise ab
Abschätzung:
Ermittle mithilfe Deines Schätzwertes einen Näherungswert für das dafür benötigte Wasservolumen in
Das benötigte Wasservolumen beträgt rund .