Gegeben ist die Funktion mit ihrer maximalen Definitionsmenge . Der Graph von wird mit bezeichnet.
Geben Sie die maximale Definitionsmenge , die jeweilige Art aller Definitionslücken von die Nullstelle von sowie jeweils Art und Gleichung aller Asymptoten von an. [6 BE]
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Lösung
Voraussetzung
DefinitionsmengeStrategie
Teil 1
- Setze den Nenner gleich null.
Teil 2
- Beachte, dass eine Nullstelle sowohl im Zähler als auch im Nenner auftritt. Achte auch auf die Vielfachheit der Nullstelle.
Teil 3
- Betrachte die Nullstellen des Zählers. Achte darauf, ob die Nullstellen in liegen.
Teil 4
- Eine Polstelle ergibt eine senkrechte Asymptote.
- Vergleiche den Zählergrad mit dem Nennergrad. Was folgt daraus?
Schritte
Gib die maximale Definitionsmenge an
benutze den Satz vom Nullprodukt.
und
Demnach ist .
Gib die jeweilige Art aller Definitionslücken von an
ist eine hebbare Definitionslücke, da der Zählergrad gleich dem Nennergrad ist.
ist eine Polstelle 2. Ordnung ohne Vorzeichenwechsel.
Gib die Nullstelle von an
benutze den Satz vom Nullprodukt.
und
ist die einzige Nullstelle.
Gib jeweils Art und Gleichung aller Asymptoten von an
Es gibt eine senkrechte Asymptote bei .
Der Zählergrad ist kleiner als der Nennergrad, d.h. es gibt eine waagrechte Asymptote.