Aufgabe B3
Nebenstehende Skizze zeigt das Trapez mit und der Höhe .
Es gilt: ; ;
; .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichnen Sie das Trapez sowie die Diagonale und die Höhe .
Begründen Sie sodann, warum für das Maß des Winkels gilt: .
(3 Pkte.)
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Teil 1
- Zeichne die Strecke mit .
- Trage im Punkt den Winkel ab.
- Zeichne einen Kreis um den Punkt mit dem Radius .
- Der freie Schenkel schneidet den Kreis im Punkt C.
- Zeichne eine Parallele zur Strecke durch den Punkt .
- Trage im Punkt den Winkel ab.
- Der freie Schenkel schneidet die Parallele im Punkt .
- Verbinde mit und mit .
- Zeichne eine Senkrechte zur Strecke durch den Punkt .
- Die Senkrechte schneidet die Strecke im Punkt Höhe .
Teil 2
- Ergänzungswinkel an parallelen Geraden sind Winkel auf derselben Seite der schneidenden Geraden, die sich in ihrer Summe zu ergänzen.
Zeichne das Trapez sowie die Diagonale und die Höhe
Zeichne die Strecke mit .
Trage im Punkt den Winkel ab.
Zeichne einen Kreis um den Punkt mit dem Radius .
Der freie Schenkel schneidet den Kreis im Punkt C.
Zeichne eine Parallele zur Strecke durch den Punkt .
Trage im Punkt den Winkel ab.
Der freie Schenkel schneidet die Parallele im Punkt .
Verbinde mit und mit .
Zeichne eine Senkrechte zur Strecke durch den Punkt .
Die Senkrechte schneidet die Strecke im Punkt Höhe .
Begründe, warum für das Maß des Winkels gilt:
Ergänzungswinkel an parallelen Geraden sind Winkel auf derselben Seite der schneidenden Geraden, die sich in ihrer Summe zu ergänzen.
Das gilt hier für die Winkel und .
.
Ermitteln Sie rechnerisch die Längen der Strecken und .
(3 Pkte.)
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- Benutze den Sinussatz und den Kosinussatz im Dreieck .
- Berechne und
Ermittle rechnerisch die Längen der Strecken und
Benutze den Sinussatz und den Kosinussatz im Dreieck :
und
Dabei gilt: und
Die Länge der Strecke beträgt .
Die Länge der Strecke beträgt .
Berechnen Sie die Länge der Strecke und den Flächeninhalt des Trapezes .
(2 Pkte.)
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Teil 1
- Das Dreieck ist rechtwinklig.
- Berechne . Löse nach auf.
Teil 2
- Berechne .
Berechne die Länge der Strecke
Das Dreieck ist rechtwinklig.
Die Länge der Strecke beträgt .
Berechne den Flächeninhalt des Trapezes
Der Flächeninhalt des Trapezes beträgt .
Punkte liegen auf der Strecke mit .
Kreise mit dem Mittelpunkt und den Radien schneiden die Strecke in Punkten .
Zeichnen Sie für den Punkt sowie den zugehörigen Kreisbogen mit dem Mittelpunkt in die Zeichnung zu Aufgabe a) ein.
Begründen Sie sodann, weshalb der Punkt auf keinem der Kreisbögen liegt.
(3 Pkte.)
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Teil 1
- Zeichne einen Kreis um den Punkt mit dem Radius .
- Der Kreis schneidet die Stecke im Punkt .
- Zeichne um den Punkt einen Kreisbogen durch den Punkt .
- Er schneidet die Strecke im Punkt .
Teil 2
- Berechne und vergleiche mit .
Zeichne für den Punkt sowie den zugehörigen Kreisbogen mit dem Mittelpunkt in die Zeichnung zu Aufgabe a) ein
Zeichne einen Kreis um den Punkt mit dem Radius .
Der Kreis schneidet die Stecke im Punkt .
Zeichne um den Punkt einen Kreisbogen durch den Punkt . Er schneidet die Strecke im Punkt .
Begründe sodann, weshalb der Punkt auf keinem der Kreisbögen liegt
Es gilt:
Die Länge der Strecke beträgt .
Wegen kann der Punkt auf keinem der Kreisbögen liegen.
Durch die Strecken und sowie die Kreisbögen werden Kreissektoren begrenzt.
Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt dieser Kreissektoren in Abhängigkeit von gilt: .
(2 Pkte.)
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- Der Radius des Kreisbogens ist und .
- Berechne .
Zeige, dass für den Flächeninhalt dieser Kreissektoren in Abhängigkeit von gilt:
Gegeben: , und
Der Radius des Kreisbogens ist dann und .
Weiterhin gilt
Berechnen Sie, für welche Belegung von der Flächeninhalt des zugehörigen Kreissektors halb so groß wie der Flächeninhalt des Trapezes ist. (2,5 Pkte.)
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- Löse die Gleichung
- Beachte .
Berechne, für welche Belegung von der Flächeninhalt des zugehörigen Kreissektors halb so groß wie der Flächeninhalt des Trapezes ist
Gegeben: und der Flächeninhalt des Trapezes beträgt .
Löse die Gleichung :
Umformung: -(0,5\cdot 84,12)
Löse nach auf.
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du
nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.
Setze und ein.
Du hast die beiden Lösungen erhalten und .
Wegen ist die gesuchte Lösung.