In sogenannten Aluminiumhütten wird nach einem bestimmten Verfahren Aluminium aus Aluminiumoxid gewonnen. Die Temperatur vom Ausgangsstoff bis zum fertigen Endprodukt Aluminium während des Herstellungsprozesses kann modellhaft durch die Funktion mit der Funktionsgleichung mit beschrieben werden. Dabei steht die Variable für die Zeit in Minuten ab dem Zeitpunkt . Der Funktionswert von gibt die Temperatur in Grad Celsius zum Zeitpunkt an.
Auf das Mitführen von Einheiten während der Rechnungen wird verzichtet. Runden Sie Ihre Ergebnisse sinnvoll.
Berechnen Sie die Temperatur im Herstellungsprozess nach fünf Minuten und die Temperatur, welche sich nach diesem Modell theoretisch langfristig einstellt. [4 BE]
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Teil 1
- Berechne .
Teil 2
- Berechne .
Berechne die Temperatur im Herstellungsprozess nach fünf Minuten
Berechne
Die Temperatur im Herstellungsprozess nach fünf Minuten beträgt rund .
Berechne die Temperatur, welche sich nach diesem Modell theoretisch langfristig einstellt
Berechne
Die Exponentialfunktion strebt viel schneller gegen null, als die Potenzfunktion gegen unendlich wächst. Deshalb geht gegen null.
Die Temperatur, welche sich nach diesem Modell theoretisch langfristig einstellt, beträgt .
Beim Erreichen des Temperaturmaximums liegt Aluminium in flüssiger Form vor. Es wird mittels eines Saugrohres abgesaugt und kühlt anschließend ab.
Ermitteln Sie rechnerisch dieses Temperaturmaximum.
[Mögliches Teilergebnis: [7 BE]
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- Berechne mithilfe der Produkt- und Kettenregel.
- Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
- Erstelle eine Monotonietabelle.
- Berechne .
Ermittle rechnerisch dieses Temperaturmaximum
Gegeben:
Berechne mithilfe der Produkt- und Kettenregel:
Klammere aus:
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist :
Weil für alle folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
Erstelle eine Monotonietabelle:
Rand | HP |
Das Temperaturmaximum beträgt rund .
Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion im Bereich in ein Koordinatensystem. Wählen Sie dazu für beide Achsen einen geeigneten Maßstab. Entnehmen Sie anschließend dem Graphen den Zeitpunkt , zu dem die Temperatur im Abkühlvorgang dem 20-fachen der Anfangstemperatur entspricht.
[5 BE]
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Teil 1
- Erstelle eine Wertetabelle.
- Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.
Teil 2
- Berechne und entnimm dem Graphen die zugehörige Zeit.
Zeichne unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion im Bereich in ein Koordinatensystem
Erstelle eine Wertetabelle.
Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.
Entnimm anschließend dem Graphen den Zeitpunkt zu dem die Temperatur im Abkühlvorgang dem 20-fachen der Anfangstemperatur entspricht
Zu gehört die Zeit (siehe Abbildung, gestrichelte Linien)
Der Zeitpunkt , zu dem die Temperatur im Abkühlvorgang dem 20-fachen der Anfangstemperatur entspricht, beträgt rund Minuten.
Für die Koordinaten des Wendepunktes des Graphen der Funktion gilt ohne Nachweis . Berechnen Sie und interpretieren Sie den Wert im Sinne der vorliegenden Thematik. [3 BE]
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Teil 1
- Berechne .
Teil 2
- Der Wendepunkt ist die Stelle der stärksten Temperaturabnahme.
- Wie groß ist diese Temperaturabnahme?
Berechne
Gegeben: und
Berechne
Interpretiere den Wert im Sinne der vorliegenden Thematik
Der Wendepunkt ist die Stelle der größten Abkühlrate mit etwa .