Die Abbildung zeigt die Pyramide . Ihre Grundfläche ist ein Drachenviereck mit den Eckpunkten
und . Der Punkt ist die Spitze der
Pyramide.
Berechnen Sie die kleinste Kantenlänge sowie das Volumen der Pyramide .
(4 BE)
Lösung anzeigen
Teil 1
- Die kleinste Kantenlänge kann nur eine der kurzen Seiten des Drachenvierecks haben.
- Berechne z.B. den Vektor .
Teil 2
- mit und .
Berechne die kleinste Kantenlänge der Pyramide
Die kleinste Kantenlänge kann nur eine der kurzen Seiten des Drachenvierecks haben.
Berechne z.B. den Vektor .
Dann ist .
Die kleinste Kantenlänge der Pyramide beträgt .
Berechne das Volumen der Pyramide
Die Grundfläche der Pyramide ist ein Drachenviereck
Das Volumen der Pyramide beträgt .
Die Seitenfläche der Pyramide liegt in der Ebene .
Betrachtet werden die Vektoren , deren Koordinaten nicht alle gleich null
sind. Begründen Sie, dass folgende Aussage richtig ist:
Gilt für einen solchen Vektor und , so ist er ein Normalenvektor von . (3 BE)
Lösung anzeigen
- Erstelle die Gleichung der Ebene und vergleiche die Richtungsvektoren dieser Ebene mit den beiden Vektoren der angegebenen Skalarprodukte.
- Begründe, warum das Skalarprodukt null ergeben muss.
Begründe, dass folgende Aussage richtig ist: Gilt für einen solchen Vektor und , so ist er ein Normalenvektor von
Berechne zunächst die Vektoren und
Dann gilt für die Ebene durch die Punkte :
Die Richtungsvektoren der Ebene sind also und .
Ein Normalenvektor steht senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren von , d.h. das Skalarprodukt zwischen und jeweils einem Richtungsvektor muss gleich null sein. Damit ist die obige Aussage richtig.
Die Ebene hat die Gleichung . Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den mit der Ebene einschließt. (3 BE)
Lösung anzeigen
- Für den Winkel gilt: .
- Dabei ist der Normalenvektor der Ebene und ist der Normalenvektor der Ebene.
Bestimme die Größe des Winkels, den mit der Ebene einschließt
Die Ebene hat die Gleichung und ist der Normalenvektor der Ebene.
Dann folgt:
und
Für den Winkel gilt:
Die Größe des Winkels, den mit der Ebene einschließt, beträgt rund .
Gegeben ist die Schar der Ebenen mit .
Jede Ebene der Schar schneidet die Pyramide in einem Dreieck , wobei der Punkt auf der Strecke liegt.
Geben Sie eine Gleichung der Ebene an und zeichnen Sie in die Abbildung die Schnittfigur von mit der Pyramide ein. (4 BE)
Lösung anzeigen
- Die Ebene verläuft parallel zur Ebene im Abstand .
- Zeichne im Punkt eine Senkrechte zur Ebene.
- Die Senkrechte schneidet die Strecke im Punkt .
- Verbinde die Punkte .
Gib eine Gleichung der Ebene an
Gegeben ist die Schar der Ebenen mit .
Die Gleichung der Ebene lautet .
Zeichne in die Abbildung die Schnittfigur von mit der Pyramide ein
Die Ebene verläuft parallel zur Ebene im Abstand . Zeichne im Punkt eine Senkrechte zur Ebene. Die Senkrechte schneidet die Strecke im Punkt . Verbinde die Punkte .
Es gibt einen Wert von , für den der Flächeninhalt des Dreiecks minimal ist. Ermitteln Sie diesen Wert. (6 BE)
Lösung anzeigen
- Die Grundseite des Dreiecks ist immer die Strecke .
- Im Punkt beginnt Höhe des Dreiecks und endet im Punkt auf der Strecke .
- Gesucht ist der minimale Abstand des Punktes von der Geraden und damit die Koordinaten des Punktes .
- Der Punkt muss auf liegen
Ermittle diesen Wert
Die Grundseite des Dreiecks ist immer die Strecke .
Der Punkt M ist der Mittelpunkt der Strecke [BD] (siehe Abbildung bei Aufgabe d).
Im Punkt beginnt Höhe des Dreiecks und endet im Punkt auf der Strecke .
Die Dreiecksfläche soll minimal sein, d.h. die Höhe des Dreiecks ist dann minimal, da die Grundseite jeweils gleich bleibt.
Gesucht ist also der Abstand des Punktes von der Geraden .
(mit einem Richtungsvektor, der um den Faktor verkürzt wurde.)
Man erstellt eine Hilfsebene in Normalform, die durch den Punkt geht und orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden ist, d.h. .
Setze in ein:
Berechne das Skalarprodukt:
Setze nun in die Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt zu bestimmen.
Der Punkt muss auf liegen:
Setze ein:
Für ist der Flächeninhalt des Dreiecks minimal.
Die folgenden Abbildungen sind nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dienen nur zur Veranschaulichung.
Ergänzung:
Eingezeichnet sind die Punkte und auf der Geraden .
Der Punkt hat den kürzesten Abstand zum Punkt (in der Mitte zwischen und ). (Die Lotgerade steht senkrecht auf .)
Details anzeigen
Die Dreiecke haben die Seite als Grundseite.
Man sucht einen Punkt , sodass der Abstand des Punktes von der Geraden minimal ist.
Vorgehensweise:
1. Hilfsebene durch und senkrecht zu
2. Durchstoßpunkt von mit Hilfsebene:
3. Abstände
4. minimaler Abstand
Bestimmung der Koordinaten von
Der Punkt liegt auf der Geraden und auf einer Ebene der Ebenenschar .
Gegeben ist die Schar der Ebenen .
Einsetzen in :
Dieser Punkt hat von der Grundlinie des Dreiecks den Abstand .
Berechnung dieses Abstandes :
1. Hilfsebene :
Hilfsebene durch und senkrecht zu
2. Durchstoßpunkt von mit Hilfsebene:
eingesetzt in
3. Abstand
4. minimaler Abstand
wird minimal, wenn minimal wird.
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
Berechne und löse die Gleichung
Setze in ein
Damit hat die Koordinaten .
Für ist der Flächeninhalt des Dreiecks minimal.