Gegeben ist die in definierte Funktion .
Abbildung 1 zeigt den Graphen von .
hat genau einen Extrempunkt.
Berechnen Sie die Koordinaten des Extrempunkts von .
(4 BE)
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- Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
- Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung und löse die Gleichung:
- Berechne noch und gibt die Koordinaten des Extrempunktes an.
Berechne die Koordinaten des Extrempunkts von
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung:
Weil für alle folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
Die Koordinaten des Extrempunkts von sind .
Die Tangente an in dessen Wendepunkt hat die Gleichung .
Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden, die den Extrempunkt von enthält und senkrecht zu verläuft. (3 BE)
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- Es ist .
- Dabei ist . Da gegeben ist, kann berechnet werden.
- Setze die Koordinaten des Extrempunkts von in ein und berechne den y-Achsenabschnitt.
Ermittle eine Gleichung der Geraden, die den Extrempunkt von enthält und senkrecht zu verläuft
Die Tangente an in dessen Wendepunkt hat die Gleichung .
Wenn senkrecht zu verlaufen soll, dann gilt:
Setze die Koordinaten des Extrempunkts von in ein.
Die Gleichung der Geraden, die den Extrempunkt von enthält und senkrecht zu verläuft, ist
Betrachtet wird die in definierte Funktion mit .
Begründen Sie, dass die Funktion nicht umkehrbar, die Funktion jedoch umkehrbar ist. Geben Sie den Definitions- und den Wertebereich der Umkehrfunktion von an. (6 BE)
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Teil 1
- Finde zwei x-Werte gibt, die den gleichen Funktionswert haben. Daher ist nicht umkehrbar.
- Es ist . Zeige, dass im Intervall streng monoton fallend ist.
Teil 2
- Gegeben ist . Dann ist .
- Die Koordinaten des Extrempunkts von sind und.
Begründe, dass die Funktion nicht umkehrbar, die Funktion jedoch umkehrbar ist
Aus Abbildung 1 entnimmt man, dass es zwei x-Werte gibt, für die ist. Daher ist nicht umkehrbar.
Es ist und in .
Die Funktion ist umkehrbar, da im Intervall streng monoton ist.
Gib den Definitions- und den Wertebereich der Umkehrfunktion von an
Gegeben ist . Dann ist .
Die Koordinaten des Extrempunkts von sind
Weiterhin gilt: , dann ist
Abbildung 2 zeigt eine Figur, die modellhaft das Wappen eines Sportvereins beschreibt. Die Begrenzungslinien der Figur werden durch einen Teil der Geraden mit der Gleichung sowie durch die Kurvenstücke und beschrieben:
- entsteht, indem für an der Geraden mit der Gleichung gespiegelt wird.
- entsteht durch Spiegeln von an der Geraden mit der Gleichung .
Der Punkt ist gemeinsamer Punkt von und .
Begründen Sie, dass mit dem Term der Flächeninhalt der Figur berechnet werden kann. (5 BE)
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- Betrachte das Viereck, das zwischen den Geraden und liegt. Gib seinen Flächeninhalt an .
- Welchen Flächeninhalt beschreibt ?
- Welcher Flächeninhalt ist dann die Differenz zwischen und ?
Begründe, dass mit dem Term der Flächeninhalt der Figur berechnet werden kann
Betrachtet wird die in definierte Funktion mit . Die Funktion ist umkehrbar (siehe Aufgabe c). (in grün) ist der Graph von in Intervall .
Der Graph ist entstanden durch Spiegelung des Graphens an der Winkelhalbierenden . Damit ist der Graph der Umkehrfunktion von in .
Das Wappen entsteht aus der Spiegelung des Graphen an der Geraden .
Damit genügt es, den Inhalt derjenigen Fläche zu berechnen, die begrenzt
wird durch den Graphen , der Geraden und der Geraden
Die Fläche ist kongruent zur Fläche , die begrenzt wird vom Graphen
und von den Geraden und (braune Fläche).
Damit gilt für den Inhalt der Fläche :
Rechteckfläche mit der Länge und der Breite abzüglich der Fläche zwischen und der x−Achse. Dabei ist der Flächeninhalt, den und die Geraden und mit der x-Achse einschließen.
und
Die in definierte Funktion ist eine Stammfunktion von . Berechnen Sie mit dem Term aus Aufgabe 1d den Flächeninhalt der Figur auf eine Nachkommastelle genau. (3 BE)
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- Berechne und setze in den Term ein.
Berechne mit dem Term aus Aufgabe 1d den Flächeninhalt der Figur auf eine Nachkommastelle genau
Gegeben ist .
Weiterhin gilt:
Dann ist
Der Flächeninhalt der Figur auf eine Nachkommastelle genau berechnet, beträgt rund .