Auf einen bestimmten Körper wirkt zu jedem Zeitpunkt seit Beobachtungsbeginn eine konstante Kraft. Außerdem wirkt auf den Körper eine Reibungskraft, die proportional zum Quadrat der Momentangeschwindigkeit des Körpers ist. Es gilt modellhaft die Differenzialgleichung . Die Geschwindigkeit wird in , die Zeit in angegeben. Bei den folgenden Berechnungen darf auf das Mitführen der Einheiten verzichtet werden.
Untersuchen Sie, ob die Funktion mit der Gleichung eine spezielle Lösung der Differenzialgleichung ist. (4 BE)
Lösung anzeigen
- Berechne mit der Quotientenregel, beachte die Kettenregel. Berechne die linke Seite der Differenzialgleichung.
- Berechne die rechte Seite der Differenzialgleichung.
- Vergleiche.
Untersuche, ob die Funktion mit der Gleichung eine spezielle Lösung der Differenzialgleichung ist
Gegeben sind: und .
Berechne mit der Quotientenregel, beachte die Kettenregel:
Dann ist die linke Seite der DGL: .
Berechne nun die rechte Seite der Differenzialgleichung:
Die rechte Seite der Differenzialgleichung: .
Ergebnis: linke Seite rechte Seitedie Funktion mit der Gleichung ist eine spezielle Lösung der Differenzialgleichung.