Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge .
Der Graph von in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit bezeichnet.
Begründen Sie für die folgenden Aussagen jeweils, ob sie wahr oder falsch sind.
A: „Der Graph von hat bei einen absoluten Extrempunkt.“
B: „Die Gerade mit der Gleichung ist Asymptote von .“
(6 BE)
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Teil 1
- Berechne die 1. Ableitung mithilfe der Quotientenregel und prüfe, ob ist.
Teil 2
- Berechne den Limes für .
A: „Der Graph von hat bei einen absoluten Extrempunkt.“
Gegeben ist .
Berechne die 1. Ableitung mithilfe der Quotientenregel:
für alle .
Daher ist der Graph streng monoton steigend, d.h. es gibt ein absolutes Randminimum bei .
Die Aussage ist wahr.
B: „Die Gerade mit der Gleichung ist Asymptote von .“
Die Definitionsmenge ist .
Waagerechte Asymptote für bestimmen:
Betrachte den Grenzwert . Wenn geht, dann geht .
Der Grenzwert ist also .
Die waagerechte Asymptote für ist .
Die Funktion hat eine waagerechte Asymptote .
Die Aussage ist wahr.
Die Funktion ist umkehrbar (Nachweis ist nicht erforderlich). Die Tangente berührt den Graphen der Umkehrfunktion von im Punkt . Ermitteln Sie die Steigung der Tangente . (5 BE)
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- Berechne , um den fehlenden y-Wert zu erhalten.
- Berechne
- Die gesuchte Tangentensteigung ist dann .
Ermittle die Steigung der Tangente
Die Tangente berührt den Graphen der Umkehrfunktion von im Punkt .
Berechne , um den fehlenden y-Wert zu erhalten.
Umformung: +1
Umformung: \cdot(2e^{-x}+1)
Umformung: :1,5
Umformung: -1
Umformung: :2
Umformung: \ln
Wende ein Logarithmusgesetz
an.
Umformung: \cdot(-1)
Wende ein Logarithmusgesetz
an.
Damit hat die Koordinaten .
Weiterhin ist
Demnach hat die Tangente der Umkehrfunktion von im Punkt die Steigung .