Gegeben ist die Funktion mit der maximalen Definitionsmenge .
Der Graph von in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit bezeichnet.
Zeigen Sie, dass ist, und berechnen Sie die Nullstellen von auf eine Nachkommastelle genau. (6 BE)
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Teil 1
- Forme zunächst um, indem Du den Term auf Hauptnenner bringst.
- Dann erkennt man, für welchen x-Wert der nicht definiert ist.
Teil 2
- Es gilt: . Löse die Gleichung .
Zeige, dass ist
Forme zunächst um:
Bringe auf Hauptnenner.
Löse die Klammer auf.
Klammere aus.
Wende eine binomische Formel an.
Also ist
Der Zähler des Bruches ist für gleich null.
Da der nur für definiert ist, muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden .
Berechne die Nullstellen von auf eine Nachkommastelle genau
.
Umformung: \cdot(x^2+1)
Löse die Klammer auf.
Umformung: -3x^2-3
Umformung: \cdot(-1)
Löse die quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel.
Setze und ein.
Klammere aus und kürze.
Die Nullstellen von sind also und .
Ermitteln Sie die Gleichungen aller Asymptoten von . (5 BE)
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- Waagrechte Asymptote: Berechne
- Senkrechte Asymptote: Berechne und .
Ermittle die Gleichungen aller Asymptoten von
Waagrechte Asymptote:
Die waagrechte Asymptote hat die Gleichung .
Senkrechte Asymptote:
und
Anmerkung: Löst Du die Gleichung , so kommst Du auf die Gleichung . Bei liegt also eine doppelte Nullstelle vor, d.h. ein Pol ohne Vorzeichenwechsel.
Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle von und bestimmen Sie damit Art und Koordinaten des Extrempunkts von .
(8 BE)
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Teil 1
- Berechne die 1. Ableitung. Bringe dazu das Argument der ln-Funktion auf Hauptnenner. Beachte beim Ableiten die Kettenregel.
- Berechne und erstelle eine Monotonietabelle.
Teil 2
- Verwende den Vorzeichenwechsel von an der Stelle .
- Berechne und gib die Koordinaten des Extremums an.
Ermittle die maximalen Monotonieintervalle von
Berechne die 1. Ableitung:
Es ist
Beachte beim Ableiten die Kettenregel:
Bringe auf Hauptnenner.
Löse die Klammer auf.
Vereinfache.
Klammere im Zähler aus.
Berechne
Für das Vorzeichenverhalten von ist der Term verantwortlich, da für alle .
und
und
und
Erstelle eine Monotonietabelle:
x | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Definitions-lücke | ||||
Pol ohne VZW |
Um die maximalen Intervalle anzugeben, in denen der Graph der Funktion streng monoton fällt bzw. streng monoton steigt, müssen die Ränder mit eingeschlossen werden.
Die maximalen Monotonieintervalle von sind:
, ist streng monoton steigend in
, ist streng monoton fallend in .
, streng monoton steigend in .
Bestimme die Art und Koordinaten des Extrempunkts von
und es liegt ein Vorzeichenwechsel von vor bei hat einen Hochpunkt.
Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden.
Sie dient nur der Veranschaulichung.
