Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge .
Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion streng monoton fallend ist. (4 BE)
Lösung anzeigen
- Berechne die 1. Ableitung von mithilfe der Quotientenregel.
- Stelle fest, ob für alle kleiner null ist.
Zeige, dass der Graph der Funktion streng monoton fallend ist
Gegeben ist .
Dann ist:
und
Demnach ist der Graph der Funktion für streng monoton fallend, da streng monoton steigend ist.
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Berechne die 1. Ableitung von mithilfe der Quotientenregel.
Klammere aus.
Fasse den Zähler zusammen.
Vereinfache.
Der Term ist größer null, da der Zähler größer null ist und das Produkt im Nenner auch größer null ist (für ). Damit gilt für alle , d.h., der Graph der Funktion ist für streng monoton fallend.
Die Funktion ist umkehrbar (Nachweis nicht erforderlich). Ermitteln Sie einen Term der Umkehrfunktion von . (3 BE)
Lösung anzeigen
- Vertausche mit und löse nach auf.
Ermittle einen Term der Umkehrfunktion von
Gegeben ist .
Vertausche mit und löse nach auf.
Umformung: \cdot(\ln(y)-1)
Löse nach auf.
Löse die Klammer auf.
Umformung: -2\ln(y)
Umformung: +x
Klammere aus.
Umformung: :(x-2)
Umformung: e^{()}
Der Term der Umkehrfunktion von ist .