Aus einem kompakten, hinreichend langen Zylinder (sog. „zylindrische Welle“) aus Messing sollen für die Schubladen einer Designerkommode rotationssymmetrische Knäufe hergestellt werden (siehe nebenstehende, nicht maßstäbliche Abbildung).
Die Symmetrieachse entspricht dabei der x-Achse in einem kartesischen Koordinatensystem.
Der Graph der Funktion mit der Definitionsmenge beschreibt die obere Konturlinie der Knäufe
(siehe Abbildung).
Die x- und y-Koordinaten stellen Längenangaben in der Einheit Zentimeter dar. Bei den Berechnungen kann auf das Mitführen von Einheiten verzichtet werden.
Berechnen Sie den Durchmesser , den die zylindrische Welle mindestens haben muss. (5 BE)
Lösung anzeigen
- Der Durchmesser ist der doppelte y-Wert des Hochpunktes.
- Berechne , beachte dabei die Kettenregel.
- Löse die Gleichung .
- Berechne .
Berechne den Durchmesser , den die zylindrische Welle mindestens haben muss
Der Durchmesser ist der doppelte y-Wert des Hochpunktes.
Gegeben ist .
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
Berechne , beachte dabei die Kettenregel.
Löse die Gleichung :
Umformung: +e^{3\cdot x-10}
Umformung: \ln
Umformung: +10
Umformung: :3
hat an der Stelle einen Hochpunkt (siehe Abb.).
Berechne :
Der Durchmesser ist der doppelte y-Wert des Hochpunktes.
Der Durchmesser , den die zylindrische Welle mindestens haben muss, beträgt .
Bestimmen Sie die Masse eines Knaufs (auf ganze Gramm gerundet), wenn das verwendete Messing die Dichte besitzt. (6 BE)
Lösung anzeigen
- Es ist .
- Berechne das Rotationsvolumen
- Quadriere den Funktionsterm und spalte das Integral in drei Integrale auf. Ein Integral muss mit partieller Integration gelöst werden.
Bestimme die Masse eines Knaufs (auf ganze Gramm gerundet), wenn das verwendete Messing die Dichte besitzt
Es ist .
Berechne das Rotationsvolumen:
Hier gilt:
Berechne die drei Integrale getrennt (zunächst ohne Grenzen):
1. Integral:
2. Integral:
, löse dieses Integral mit partieller Integration.
Es gilt:
Es ist und
Also folgt:
3. Integral:
Insgesamt erhält man dann:
(auf ganze Gramm gerundet)
Die Masse eines Knaufs beträgt rund .