Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung und der Definitionsmenge .
Der Graph von wird mit bezeichnet.
Ein Ausschnitt von ist in der nebenstehenden Abbildung zu sehen.
Außerdem ist die Funktion mit der Definitionsmenge gegeben. Weisen Sie nach, dass die Funktion umkehrbar ist.
(7 BE)
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- Berechne mit der Quotientenregel.
- Untersuche, wie sich q'(x) für verhält.
Weise nach, dass die Funktion umkehrbar ist
Gegeben ist mit der Definitionsmenge .
Berechne mit der Quotientenregel:
Klammere aus.
Löse die Klammern im Zähler auf.
Vereinfache.
Untersuche das Verhalten des Zählers :
Der Zähler ist also für größer null und der Nenner ist ebenfalls größer null.
Dann gilt:
für , dabei ist und .
Für maximale Intervalle müssen die Ränder mit eingeschlossen werden, obwohl hier ist.
ist in streng monoton steigend, also existiert eine Umkehrfunktion.
Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden , die den Graphen der Umkehrfunktion von in dessen Schnittpunkt mit der x-Achse berührt. (4 BE)
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- Für den Schnittpunkt mit der y-Achse berechne .
- Dieser Punkt wird an der Winkelhalbierenden gespiegelt und ergibt die Nullstelle von .
- Gesucht ist die Gleichung der Tangente an im Punkt .
- hat im Punkt die Steigung . Die Steigung der Umkehrfunktion am gespiegelten Punkt ist der Kehrwert der Steigung der ursprünglichen Funktion im Punkt .
- Für die Tangentengleichung gilt:
- Mit dem Punkt kann dann bestimmt werden.
Bestimme eine Gleichung der Geraden , die den Graphen der Umkehrfunktion von in dessen Schnittpunkt mit der x-Achse berührt
Gegeben ist .
Für den Schnittpunkt mit der y-Achse berechne .
Dieser Punkt wird an der Winkelhalbierenden gespiegelt und ergibt die Nullstelle von .
Gesucht ist also die Gleichung der Tangente an im Punkt .
hat im Punkt die Steigung
Die Steigung der Umkehrfunktion am gespiegelten Punkt ist der Kehrwert der Steigung der ursprünglichen Funktion im Punkt .
hat somit im Punkt die Steigung .
Für die Tangentengleichung gilt:
Mit dem Punkt folgt dann .
Die Gleichung der Geraden , die den Graphen der Umkehrfunktion von in dessen Schnittpunkt mit der x-Achse berührt, lautet .
Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden.
Sie dient nur der Veranschaulichung.
Betrachtet wird die Funktion mit der Definitionsmenge . Ermitteln Sie eine integralfreie Darstellung von .
(6 BE)
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- Führe eine Polynomdivision durch. Du erhältst zwei Integrale.
- Das 2. Integral wird wiederum in zwei Integrale aufgespalten.
- Für eines der beiden Integrale benutze die Substitution .
Ermittle eine integralfreie Darstellung von
Gegeben ist .
Durch Polynomdivision erhält man:
Dann folgt für das Integral (zunächst unbestimmt, ohne Integrationsgrenzen):
Berechne das Integral:
Für das 1. Integral folgt:
(Betragsstriche entfallen, da ist.)
Das 2. Integral:
Setze .
Dann folgt:
mit Resubstitution erhält man dann:
Ergebnis zusammengefasst:
Dann folgt für :
Eine integralfreie Darstellung von ist:
Gegeben ist nun die Funktion mit der maximalen Definitionsmenge .
Ermitteln Sie , die Nullstelle von und das Verhalten der Funktionswerte von für . (7 BE)
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Teil 1
- Es ist . Der ist nicht definiert.
Teil 2
- . Löse die Gleichung
Teil 3
- Berechne .
Ermittle
Bekannt: und .
Es ist .
Für und der ist nicht definiert
(An der Stelle hat eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.)
Ermittle die Nullstelle von
Es gilt:
Umformung: \cdot (x^2+3)
Löse nach auf.
Umformung: -x^2
Umformung: -9
Umformung: :6
Die Nullstelle von liegt bei .
Verhalten der Funktionswerte von für
Es ist
Also ist
Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden.
Sie dient nur der Veranschaulichung.
