Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge .
Berechnen Sie die Nullstelle von . Bestimmen Sie außerdem das Verhalten der Funktionswerte für .
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Teil 1
- Für die Nullstellen setze .
Teil 2
- Berechne , überlege dabei, wie sich und verhalten.
Berechne die Nullstelle von
Gegeben ist .
Für die Nullstellen setze setze den Zähler gleich null:
Umformung: -4
Umformung: :4
Umformung: e^{()}
Umformung: -1
Die Nullstelle von liegt bei .
Bestimme das Verhalten der Funktionswerte für
, weil die Werte von dabei positiv bleiben.
Ermitteln Sie die Wertemenge von .
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- Bekannt ist die Definitionsmenge .
- Das Verhalten der Funktionswerte für wurde in Aufgabe a) bestimmt linke Intervallgrenze.
- Für die rechte Intervallgrenze der Wertemenge von muss der maximale Funktionswert von bestimmt werden.
Bekannt ist die Definitionsmenge .
Das Verhalten der Funktionswerte für wurde in Aufgabe a) bestimmt, d.h. die linke Intervallgrenze der Wertemenge von ist .
Für die rechte Intervallgrenze der Wertemenge von muss der maximale Funktionswert von bestimmt werden.
Bilde die 1. Ableitung von mithilfe der Quotientenregel:
Setze .
Überprüfe mithilfe des Vorzeichenwechselkriteriums, ob ein Maximum vorliegt, :
Es findet ein Vorzeichenwechsel von , d.h. bei liegt ein Maximum vor.
Wegen liegt bei ein absolutes Maximum vor, also ist .
Dann ist die Wertemenge von .
Gegeben ist nun die Funktion mit der Definitionsmenge .
Bestimmen Sie eine integralfreie Darstellung von .
Hinweis: Die Substitution kann hilfreich sein.
Die Funktion sei eine Stammfunktion von mit der Definitionsmenge .
Begründen Sie, dass der Graph von einen Extrempunkt bei besitzt.
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Teil 1
- Spalte das Integral in zwei Teile auf:
- Die Stammfunktion vom 1. Integral ist der .
- Für das 2. Integral benutze den Hinweis aus der Aufgabenstellung.
Teil 2
- Da bei einen Extrempunkt besitzt, hat bei eine Wendestelle (NEW-Regel).
- Wenn eine Funktion einen Wendepunkt an einer bestimmten Stelle hat, was hat dann die Stammfunktion an dieser Stelle?
Teil 1: Bestimme eine integralfreie Darstellung von
Das erste Integral ist:.
Das zweite Integral ist:
Verwende den Hinweis .
Somit ist .
Beträge in den Logarithmen sind nicht erforderlich, da stets positiv ist.
Teil 2: Begründe, dass der Graph von einen Extrempunkt bei besitzt
Da bei einen Extrempunkt besitzt, hat bei eine Wendestelle (NEW-Regel).
Hat eine Funktion einen Wendepunkt an einer bestimmten Stelle, dann besitzt die Stammfunktion an dieser Stelle einen Extrempunkt (Maximum oder Minimum). Der Graph von besitzt einen Extrempunkt bei .
Erläuterung: Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion, an dem sich das Krümmungsverhalten ändert. Es findet ein Wechsel von linksgekrümmt zu rechtsgekrümmt oder umgekehrt statt. Da die zweite Ableitung einer Funktion an einem Wendepunkt null ist (und das Vorzeichen wechselt), ist die erste Ableitung (und damit die Steigung der Stammfunktion) an dieser Stelle ein Extremwert.
Ändert sich die Krümmung einer Funktion, ändert sich auch die Steigung der Stammfunktion. An der Stelle, an der sich die Krümmung ändert, hat die Stammfunktion einen höchsten oder niedrigsten Wert, also einen Extremwert.
Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
