Eine neue Sorte Pralinen soll mit ansprechender Verpackung auf den Markt kommen. Diese hat die nebenstehend abgebildete Form eines geraden Prismas mit trapezförmiger Grundfläche. Das Volumen der Verpackungsschachtel beträgt . Die Maßzahl A der Oberfläche der oben offenen Schachtel in
lässt sich in Abhängigkeit von der Länge in (siehe nebenstehende Abbildung) durch die Gleichung mit
darstellen. Auf die Mitführung der Einheiten kann beiden folgenden Rechnungen verzichtet werden. Runden Sie Ihre Ergebnisse falls nicht anders gefordert auf zwei Nachkommastellen.
In Bild 1 und Bild 2 sind zwei mögliche Verpackungsschachteln mit einem Volumen von nicht maßstäblich dargestellt. Zeigen Sie, dass beide Schachteln ganzzahlig gerundet den gleichen Oberflächeninhalt haben.
Beide Schachteln verursachen die gleichen Herstellungskosten. Nennen Sie zwei Kriterien, die bei einer Entscheidung für eine der beiden Verpackungsschachteln ausschlaggebend sein können.
(4 BE)
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Teil 1
- Berechne und , runde auf ganze Zahlen und vergleiche.
Teil 2
- Bei welchen Kriterien könnte eine der beiden Verpackungsschachteln bevorzugt werden?
Zeige, dass beide Schachteln ganzzahlig gerundet den gleichen Oberflächeninhalt haben
Gegeben ist .
Berechne und :
Ganzzahlig gerundet haben beide Schachteln den gleichen Oberflächeninhalt von .
Nenne zwei Kriterien, die bei einer Entscheidung für eine der beiden Verpackungsschachteln ausschlaggebend sein können
Z.B. gefällt das Design einer Schachtel besser oder eine Schachtel hat eine bessere Standfestigkeit oder die Stabilität einer Schachtel ist besser oder eine Schachtel kann besser gestapelt werden. (Zwei Kriterien reichen.)
Aus Umweltschutzgründen soll die Verpackung eine möglichst geringe Oberfläche haben. Ermitteln Sie die Länge in so, dass für minimal ist und berechnen Sie die Maßzahl des minimalen Oberflächeninhalts.
mögliches Teilergebnis: (6 BE)
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- Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
- Berechne die 1. Ableitung und löse die Gleichung
- Überprüfe z.B. mit einer Monotonietabelle, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt oder verwende die zweite Ableitung von .
- Berechne die Maßzahl des extremen Oberflächeninhalts.
Ermittle die Länge in so, dass für minimal ist
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
Berechne die 1. Ableitung:
Löse die Gleichung .
Umformung: +\dfrac{8000\sqrt{3}}{9x^2}
Umformung: :\dfrac{3}{2}\sqrt{3
}
Umformung: \cdot x^2
Umformung: \sqrt[3]{~}
Erstelle eine Monotonietabelle:
,
Demnach gibt es bei ein absolutes Minimum.
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion für in ein geeignetes Koordinatensystem. Kennzeichnen Sie am Graphen die Punkte und . Geben Sie die Koordinaten des absoluten Hochpunktes von an. (6 BE)
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Teil 1
- Erstelle eine Wertetabelle mit den bereits berechneten Werten.
- Berechne zusätzlich noch die Funktionswerte an den Rändern des Definitionsbereiches.
- Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.
- Markiere die Punkte und .
Teil 2
- Welcher Funktionswert ist für am größten?
Zeichne den Graphen der Funktion für in ein geeignetes Koordinatensystem
Kennzeichne am Graphen die Punkte und
Erstelle eine Wertetabelle:
Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.
Gib die Koordinaten des absoluten Hochpunktes von an
Die Koordinaten des absoluten Hochpunktes von sind (Randwert).
Ein Süßwarenhersteller entscheidet sich für eine Schachtel mit bei einem Volumen von . Berechnen Sie die Flächenmaßzahl des trapezförmigen Bodens und die Höhe der zugehörigen Schachtel. (3 BE)
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Teil 1
- Gegeben sind und das Volumen .
- Nach der Abbildung bei der Aufgabenstellung ist und .
- Skizziere das Trapez und berechne die Trapezhöhe mit dem Satz des Pythagoras.
- Berechne die Trapezfläche .
Teil 2
- Es ist . Löse nach auf und berechne .
Berechne die Flächenmaßzahl des trapezförmigen Bodens und die Höhe der zugehörigen Schachtel
Gegeben sind und das Volumen von .
Nach der Abbildung bei der Aufgabenstellung ist und .
Dann ergibt sich das folgende Trapez.
Die Höhe des Trapezes wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet.
(Bei Längen gilt nur die positive Wurzel.)
Die Flächenmaßzahl des trapezförmigen Bodens ist rund .
Für das Volumen der Verpackungsschachtel gilt:
Die Höhe der zugehörigen Schachtel beträgt rund .