Gegeben ist die Funktion durch die Gleichung mit \}.
Der Graph der Funktion heißt .
Die Abbildung zeigt einen Teil von mit seinen beiden Asymptoten.
Lesen Sie jeweils die Art und die Gleichung der Asymptoten von ab und geben Sie diese an. (2 BE)
Lösung anzeigen
- Lies die Gleichungen für die beiden senkrechten Asymptoten ab.
Lies jeweils die Art und die Gleichung der Asymptoten von ab und gib diese an
Senkrechte Asymptote bei .
Waagerechte Asymptote bei .
Gegeben ist die Funktion g durch die Gleichung mit . Der Graph der Funktion heißt . Zeichnen Sie in die obige Abbildung ein und berechnen Sie die exakten x-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen und .
Teilergebnis:
(5 BE)
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Teil 1
- Zeichne die Winkelhalbierende in das Koordinatensystem ein.
Teil 2
- Löse die Gleichung .
Löse die Gleichung .
Umformung: \cdot(1-x)
Löse nach auf.
Löse die Klammer auf.
Umformung: -x-1
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
Setze und ein.
Fasse zusammen
Die exakten x-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen und sind und .
Gegeben sind die bestimmten Integrale
und
Die Integralwerte können jeweils geometrisch als Flächenmaßzahl eines Flächenstückes im Koordinatensystem der Aufgabe a) interpretiert werden. Kennzeichnen Sie die beiden Flächenstücke in der Zeichnung der Aufgabe a). (3 BE)
Lösung anzeigen
- Was sind jeweils die Integrationsgrenzen.
- Welche Fläche wird zwischen welchen Funktionsgraphen eingeschlossen?
Türkisfarbige Fläche entspricht dem .
Grüne Fläche entspricht dem .
Anmerkung: Die Zahlenwerte der beiden Flächeninhalte sind in der Aufgabenstellung nicht gefordert.
Die reelle Funktion besitzt den maximalen Definitionsbereich . Der Graph der Funktion heißt . Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems. (Nachweis nicht erforderlich!).
1) Ermitteln Sie mithilfe von das Verhalten der Funktionswerte von bei Annäherung an die Ränder von . Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten von an. (4 BE)
2) Bestätigen Sie rechnerisch, dass keine relativen Extrempunkte besitzt.
mögliches Teilergebnis:
3) Zeichnen Sie mit seinen Asymptoten in das Koordinatensystem von Aufgabe a) ein.
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Teil 1
- Wie verhält sich bei Annäherung an die Stellen und ?
- Schließe daraus, wie sich verhält.
- An den Stellen und ist nicht definiert.
- Was folgt daraus für die Asymptoten?
Teil 2
- Gegeben ist .
- Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
- Beachte beim Ableiten die Quotienten- und Kettenregel.
Teil 3
- Erstelle eine Wertetabelle. Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems. Es reicht nur negative x-Werte zu verwenden. Die positiven Werte können wegen der Punktsymmetrie entsprechend übertragen werden.
- Zeichne auch die beiden Asymptoten aus Teil 1 mit ein.
1) Ermittle mithilfe von das Verhalten der Funktionswerte von bei Annäherung an die Ränder von
Gegeben ist .
Annäherung an den linken Rand von :
Annäherung an den rechten Rand von :
Gib die Gleichungen aller Asymptoten von an
hat zwei senkrechte Asymptoten und .
2) Bestätige rechnerisch, dass keine relativen Extrempunkte besitzt
Beachte beim Ableiten die Quotienten- und Kettenregel.
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
ergibt einen Widerspruch, d.h. hat keine relativen Extrempunkte.
3) Zeichne mit seinen Asymptoten in das Koordinatensystem von Aufgabe a) ein
Erstelle eine Wertetabelle. Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems. Deshalb reicht es, nur negative x-Werte zu verwenden. Die positiven Werte können wegen der Punktsymmetrie entsprechend übertragen werden.
Übertrage die Punkte in das Koordinatensystem und verbinde sie.
