Aufgabe 4
Die nebenstehende Skizze zeigt das Fünfeck sowie den Kreisbogen mit dem Mittelpunkt und dem Radius .
Es gilt: ; ;
; ;
; .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichnen Sie das Fünfeck mit den Strecken und sowie den Kreisbogen . (3 P)
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- Zeichne die Strecke . Zeichne um und um je einen Kreis mit dem Radius . Die beiden Kreise schneiden sich im Punkt .
- Trage im Punkt den Winkel ab.
- Zeichne um einen Kreis mit dem Radius . Der Kreis schneidet den freien Schenkel im Punkt .
- Zeichne eine Parallele zur Strecke durch den Punkt .
- Trage im Punkt den Winkel ab.
- Die Parallele schneidet den freien Schenkel im Punkt .
- Zeichne um einen Kreisbogen mit dem Radius durch die Punkte und .
- Verbinde die Punkte zu einem Fünfeck.
Zeichne das Fünfeck mit den Strecken und sowie den Kreisbogen .
Zeichne die Strecke mit . Zeichne um und um je einen Kreis mit dem Radius . Die beiden Kreise schneiden sich im Punkt . Trage im Punkt den Winkel ab. Zeichne um einen Kreis mit dem Radius . Der Kreis schneidet den freien Schenkel im Punkt .
Zeichne eine Parallele zur Strecke durch den Punkt .
Trage im Punkt den Winkel ab.
Die Parallele schneidet den freien Schenkel im Punkt .
Zeichne um einen Kreisbogen mit dem Radius durch die Punkte und .
Verbinde die Punkte zu einem Fünfeck.
Anmerkung: Der besseren Übersichtlichkeit wegen, sind in der Zeichnung die Konstruktionskreise nicht dargestellt.
Begründen Sie, dass gilt: .
Berechnen Sie sodann die Maße der Winkel und sowie die Länge der Strecke .
Teilergebnisse: ; (4 P)
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Teil 1
- Welche Eigenschaft haben Wechselwinkel?
Teil 2
- Betrachte das Dreieck und verwende den Kosinussatz.
Teil 3
- Der Nebenwinkel von und der Winkel sind Wechselwinkel.
Teil 4
- Betrachte das Dreieck und verwende den Sinussatz zur Berechnung der Länge der Strecke .
Begründe, dass gilt:
Die Winkel und sind als Wechselwinkel an den Parallelen und maßgleich.
Berechne den Winkel
Betrachte das Dreieck und verwende den Kosinussatz.
Setze die entsprechenden Werte ein:
Das Maß des Winkels beträgt rund .
Berechne den Winkel
Der Nebenwinkel von und der Winkel sind als Wechselwinkel an den Parallelen und maßgleich.
Nebenwinkel von Winkel
Das Maß des Winkels beträgt .
Berechne die Länge der Strecke
Betrachte das Dreieck und verwende den Sinussatz.
In dem Dreieck ist .
Dann folgt:
Die Länge der Strecke beträgt rund .
Berechnen Sie den Umfang der Figur, die durch die Strecken , , sowie den Kreisbogen begrenzt wird.
Zwischenergebnis: (4 P)
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- Für den Umfang gilt:
- Berechnet werden müssen und
- Länge der Strecke : Betrachte das Dreieck und verwende den Kosinussatz.
- Länge des Kreisbogens:
- Setze alle Werte in die Umfangsformel ein.
Berechne den Umfang der Figur, die durch die Strecken , , sowie den Kreisbogen begrenzt wird
Die Längen der Strecken und sind bekannt.
Berechne die Länge der Strecke
Betrachte das Dreieck und verwende den Kosinussatz.
und
Dann erhält man:
Die Länge der Strecke beträgt rund .
Berechne die Länge des Kreisbogens
Es sind und .
Dann folgt:
Die Länge des Kreisbogens beträgt rund .
Berechne den Umfang
Setze alle Werte ein:
Der Umfang beträgt rund .
Ein Kreis um Punkt berührt die Strecke im Punkt und schneidet die Strecke im Punkt sowie die Strecke im Punkt .
Ergänzen Sie die Zeichnung zu Aufgabe a) um die Strecke und den Kreisbogen mit dem Mittelpunkt .
Bestimmen Sie sodann rechnerisch die Länge der Strecke und den Flächeninhalt des Sektors, der durch die Strecken und sowie den Kreisbogen begrenzt wird.
Teilergebnisse: (3 P)
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Teil 1
- Zeichne eine senkrechte Gerade zur Strecke durch den Punkt .
- Die Gerade schneidet die Strecke im Punkt .
- Zeichne einen Kreis um durch den Punkt . Der Kreis schneidet die Strecke im Punkt und die Strecke im Punkt .
Teil 2
- Betrachte das rechtwinklige Dreieck .
- Berechne mit dem Sinus die Länge der Strecke .
Teil 3
- Für den Flächeninhalt eines Kreissektors gilt:
Ergänze die Zeichnung zu Aufgabe a) um die Strecke und den Kreisbogen mit dem Mittelpunkt
Zeichne eine senkrechte Gerade zur Strecke durch den Punkt .
Die Gerade schneidet die Strecke im Punkt . (Ersetze die Gerade durch die Strecke .)
Zeichne einen Kreis um durch den Punkt . Der Kreis schneidet die Strecke im Punkt und die Strecke im Punkt .
(Ersetze den Kreis durch den Kreisbogen .)
Bestimme rechnerisch die Länge der Strecke
Betrachte das rechtwinklige Dreieck .
Der Winkel ist gleich .
Dann gilt:
Die Länge der Strecke beträgt rund .
Berechne den Flächeninhalt des Sektors, der durch die Strecken und sowie den Kreisbogen begrenzt wird
Für den Flächeninhalt eines Kreissektors gilt:
Dabei ist und .
Dann erhält man:
Der Flächeninhalt des Kreissektors beträgt rund .
Bestimmen Sie rechnerisch den prozentualen Anteil des Flächeninhalts des Sektors aus Aufgabe d) am Flächeninhalt des Dreiecks . (2 P)
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- Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks .
- Der prozentuale Anteil beträgt dann:
Bestimme rechnerisch den prozentualen Anteil des Flächeninhalts des Sektors aus Aufgabe d) am Flächeninhalt des Dreiecks
Flächeninhalt des Dreiecks
Die Grundseite des Dreiecks hat die Länge und die Höhe ist gleich der Länge der Strecke .
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt rund .
Der prozentuale Anteil beträgt dann:
Der prozentuale Anteil des Flächeninhalts des Sektors aus Aufgabe d) am Flächeninhalt des Dreiecks beträgt rund .