Aufgabe 4
Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild des geraden Prismas , dessen Grundfläche das Quadrat mit dem Diagonalenschnittpunkt ist. Der Punkt ist der Diagonalenschnittpunkt des Quadrats .
Es gilt: .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Nachkommastellen.
Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas mit den Strecken und , wobei die Strecke auf der Schrägbildachse und der Punkt links vom Punkt liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: .
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke und das Maß des Winkels CAN.
Teilergebnisse: (4,5 P)
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Teil 1
- Zeichne das Schrägbild des geraden Prismas , dessen Grundfläche das Quadrat ist. Die Längen der beiden Diagonalen sind gegeben.
- Beachte: Für die Zeichnung gilt: .
Teil 2
- Berechne die Länge der Strecke . Betrachte das rechtwinklige Dreieck und verwende den Satz des Pythagoras.
Teil 3
- Berechne das Maß des Winkels CAN. Verwende im Dreieck den Tangens.
Zeichne das Schrägbild des Prismas mit den Strecken und
Zeichne die Strecke und markiere die Mitte dieser Strecke . Trage im Punkt einen Winkel von an. Wegen beträgt die Länge der Diagonalen nur . Zeichne in den Punkten , und jeweils eine Senkrechte mit einer Länge von .
Verbinde die Punkte und ebenso die Punkte und . Verbinde weiterhin die Punkte mit und mit . Der Schnittpunkt der Strecken und ist der Punkt . Verbinde mit .
Berechne die Länge der Strecke
Betrachte das rechtwinklige Dreieck :
Verwende den Satz des Pythagoras:
Die Länge der Strecke beträgt etwa .
Berechne das Maß des Winkels CAN
Verwende zur Berechnung den Tangens:
Das Maß des Winkels beträgt rund .
Punkte liegen auf der Strecke mit .
Die Punkte bilden zusammen mit Punkten und Drachenvierecke mit den Diagonalenschnittpunkten .
Diese Drachenvierecke liegen parallel zum Quadrat . Sie sind die Grundflächen von Pyramiden mit der Spitze und den Höhen .
Es gilt: und
Zeichnen Sie die Pyramide und den Punkt für in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein.
Geben Sie sodann an, für welche Belegungen von es Pyramiden gibt. (3 P)
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Teil 1
- Zeichne die Pyramide für ein.
Teil 2
- Beachte, dass die Länge der Strecke etwa beträgt.
Zeichnen Sie die Pyramide und den Punkt für in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein
Gib an, für welche Belegungen von es Pyramiden gibt
Die Länge der Strecke beträgt etwa .
Deshalb gibt Pyramiden , wenn gilt: .
Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt der Grundflächen der Pyramiden in Abhängigkeit von gilt: . (3 P)
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- Für die Fläche des Drachenvierecks gilt:
- Die Länge der einen Diagonalen besteht aus zwei Teilstücken.
- Für die Berechnung der Länge eines dieser Teilstücke muss der Strahlensatz angewendet werden.
Zeige, dass für den Flächeninhalt der Grundflächen der Pyramiden in Abhängigkeit von gilt:
Für die Fläche des Drachenvierecks gilt:
Unbekannt in der Flächengleichung ist .
Betrachte das Dreieck und wende den Strahlensatz an.
Dann gilt:
Damit erhält man für die Fläche des Drachenvierecks:
Damit ist gezeigt, dass für den Flächeninhalt der Grundflächen der Pyramiden in Abhängigkeit von gilt: .
Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide am Volumen des Prismas .
Zwischenergebnisse: (4 P)
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- Berechne das Volumen des Prismas.
- Berechne das Volumen der Pyramide. Die Berechnung der Pyramidenhöhe erfolgt mit dem Strahlensatz.
- Berechne den prozentualen Anteil.
Berechne den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide am Volumen des Prismas
Berechne das Volumen des Prismas
Da vom Quadrat die Diagonalen gegeben sind, erhält man für den Flächeninhalt:
Die Prismahöhe beträgt .
Das Volumen des Prismas beträgt .
Berechne das Volumen der Pyramide
Die Grundfläche der Pyramide in Abhängigkeit von wurde in Aufgabe c) berechnet:
Für die Pyramide ist .
Die Berechnung der Pyramidenhöhe erfolgt mit dem Strahlensatz.
Betrachte das Dreieck .
Dann gilt:
Die Pyramidenhöhe beträgt rund .
Für das Pyramidenvolumen folgt dann:
Das Volumen der Pyramide beträgt rund .
Berechne den prozentualen Anteil
Für den prozentualen Anteil erhält man:
Der prozentuale Anteil des Volumens der Pyramide am Volumen des Prismas beträgt rund .
Unter den Winkeln hat der Winkel das größte Maß.
Bestimmen Sie dieses Winkelmaß. (2 P)
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- Die Grundfläche der Pyramide befindet sich auf der Grundfläche des Prismas.
- Dann gilt . Der Winkel entspricht dem in Aufgabe a) berechneten Winkel.
Bestimme dieses Winkelmaß
Es gilt:
Das Maß des Winkels beträgt .