Aufgabe B 4
Die Diagonalen und des Drachenvierecks schneiden sich im Punkt .
Das Drachenviereck ist die Grundfläche der Pyramide mit der Höhe .
Es gilt: .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide , wobei die Strecke auf der Schrägbildachse und der Punkt links vom Punkt liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: .
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke und das Maß des Winkels .
Teilergebnisse: (4 P)
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Teil 1
- Zeichne die Pyramide, beachte für die Strecke : und .
Teil 2
- Betrachte das rechtwinklige Dreieck .
- Streckenlänge: Benutze den Satz des Pythagoras.
Teil 3
- Betrachte das rechtwinklige Dreieck .
- Winkelberechnung: Benutze den Tangens.
Zeichne das Schrägbild der Pyramide , wobei die Strecke auf der Schrägbildachse und der Punkt links vom Punkt liegen soll
Zeichne die Pyramide, beachte für die Strecke : und .
Berechne die Länge der Strecke
Betrachte das rechtwinklige Dreieck . Benutze den Satz des Pythagoras.
Hier gilt:
Die Länge der Strecke beträgt rund .
Berechne das Maß des Winkels
Betrachte das rechtwinklige Dreieck . Benutze den Tangens:
Das Maß des Winkels beträgt rund .
Punkte liegen auf der Strecke . Die Winkel haben das Maß mit . Für Punkte gilt: .
Zeichnen Sie die Strecke sowie den Punkt für in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein. (1 P)
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- Trage im Punkt den Winkel an die Strecke an.
- Der freie Schenkel schneidet die Strecke im Punkt .
- Zeichne einen Kreis um mit dem Radius .
- Du erhältst den Punkt auf der Strecke .
Zeichne die Strecke sowie den Punkt für in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein
Trage im Punkt den Winkel an die Strecke an.
Der freie Schenkel schneidet die Strecke im Punkt .
Zeichne einen Kreis um mit dem Radius .
Du erhältst den Punkt auf der Strecke .
Anmerkung: Der Kreis um ist in der Abbildung nicht dargestellt, nur sein Schnittpunkt mit der Strecke .
Punkte sind die Fußpunkte der Lote von den Punkten auf die Strecke .
Zeichnen Sie die Strecke in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein.
Zeigen Sie sodann, dass für die Länge der Strecken in Abhängigkeit von gilt:
. (2,5 P)
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Teil 1
- Zeichne eine zur Strecke parallele Strecke, die im Punkt beginnt und im Punkt endet.
Teil 2
- Bekannt sind und und es gilt:
- Berechne den im rechtwinkligen Dreieck .
Zeichne die Strecke in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein
Zeichne eine zur Strecke parallele Strecke, die im Punkt beginnt und im Punkt endet.
Zeige sodann, dass für die Länge der Strecken in Abhängigkeit von gilt:
Bekannt sind und
Außerdem gilt:
Für den im rechtwinkligen Dreieck gilt dann:
mit
Dann erhält man:
Ergebnis: mit
Unter den Strecken hat die Strecke die maximale Länge.
Geben Sie den zugehörigen Wert für an. (1 P)
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- Die Strecke wird maximal, wenn maximal wird.
- Siehe Aufgabe a).
Gib den zugehörigen Wert für an
Je kleiner der Winkel wird, desto kleiner wird die Strecke .
Anderseits wird die Strecke maximal, wenn maximal wird.
Der maximale Wert, den annehmen kann, ist
(siehe Aufgabe a).
Für hat die Strecke die maximale Länge.
Die Punkte sind die Spitzen von Pyramiden mit den Höhen .
Zeichnen Sie die Pyramide und die Höhe in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein.
Zeigen Sie durch Rechnung, dass für das Volumen der Pyramiden in Abhängigkeit von gilt: . (2 P)
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Teil 1
- Zeichne die Pyramide und die Höhe ein.
Teil 2
- Die Grundfläche ist ein Dreieck mit der Grundseite und der Höhe .
- Die Pyramidenhöhe ist .
Zeichne die Pyramide und die Höhe in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein
Zeichne die Pyramide und die Höhe ein.
Zeige durch Rechnung, dass für das Volumen der Pyramiden in Abhängigkeit von gilt:
.
Dabei ist die Grundfläche ein Dreieck mit der Grundseite und der Höhe .
Die Pyramidenhöhe ist .
Dann folgt für das Pyramidenvolumen:
Das Volumen der Pyramiden in Abhängigkeit von ist:
Das Volumen der Pyramide beträgt des Volumens der Pyramide .
Berechnen Sie den zugehörigen Wert für . (3 P)
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- Berechne vom Pyramidenvolumen der Pyramide . Nenne dieses zum Beispiel .
- Setze gleich und löse nach auf.
Berechne den zugehörigen Wert für
Das Pyramidenvolumen der Pyramide ist:
Dabei ist die Grundseite ein Drachenviereck mit den beiden Diagonalen und .
Die Pyramidenhöhe ist .
Dann folgt für das Pyramidenvolumen:
Das Volumen der Pyramide beträgt des Volumens der Pyramide .
Demnach hat die Pyramide ein Volumen von:
.
Also gilt:
für .
Jetzt können wir das nach umformen:
Umformung: +64\cdot \cos\varphi
Umformung: -22,4
Umformung: :64
Der zugehörige Wert für beträgt rund .
Das Dreieck ist gleichschenklig.
Bestimmen Sie rechnerisch den zugehörigen Wert für . (2,5 P)
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- Das Dreieck ist gleichschenklig. Demnach sind .
- Benutze zur Berechnung des Winkels den Kosinussatz.
Bestimme rechnerisch den zugehörigen Wert für
Das Dreieck ist gleichschenklig.
Demnach sind .
Benutze zur Berechnung des Winkels den Kosinussatz:
Der Winkel ist hier der Winkel .
Die Seite , die Seite und die Seite .
Damit folgt:
für .
Wieder formen wir nach um:
Vereinfache.
Umformung: \cos^{-1}()
Löse nach auf.
Umformung: +\varphi-27,65^\circ
Der zugehörige Wert für beträgt rund .