Aufgabe B 4
Die Diagonalen und der Raute schneiden sich im Punkt .
Die Raute ist die Grundfläche der Pyramide mit der Höhe .
Es gilt: ; ; .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide , wobei die Strecke auf der Schrägbildachse und der Punkt links vom Punkt liegen soll.
Für die Zeichnung gilt:
Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels und die Länge der Strecke .
Teilergebnisse: (4 P)
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Teil 1
- Zeichne die Pyramide, beachte für die Strecke : und
Teil 2
- Betrachte das rechtwinklige Dreieck .
- Winkelberechnung: Benutze den .
- Streckenlänge: Benutze den Satz des Pythagoras.
Zeichne das Schrägbild der Pyramide , wobei die Strecke auf der Schrägbildachse und der Punkt links vom Punkt liegen soll, mit
Es gilt: ; ; .
Wegen ist die Strecke in der Zeichnung nur lang.
Berechne das Maß des Winkels und die Länge der Strecke
Maß des Winkels
Betrachte das rechtwinklige Dreieck . Hier gilt:
Länge der Strecke
Betrachte das rechtwinklige Dreieck .
Benutze den Satz des Pythagoras:
Das Maß des Winkels beträgt rund und die Länge der Strecke beträgt rund .
Punkte liegen auf der Strecke . Die Winkel haben das Maß mit . Die Punkte sind zusammen mit den Punkten und die Eckpunkte von Dreiecken . Die Dreiecke sind Grundflächen von Pyramiden mit der Spitze .
Zeichnen Sie die Pyramide für in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein. (1 P)
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- Zeichne an die Strecke im Punkt den Winkel . Der freie Schenkel schneidet die Strecke im Punkt .
Zeichne die Pyramide für in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein
Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken in Abhängigkeit von gilt:
.
Für die Strecke gilt: .
Berechnen Sie den zugehörigen Wert von . (3,5 P)
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Teil 1
- Betrachte das Dreieck und verwende den Sinussatz zur Berechnung von . Beachte dabei, dass ist.
Teil 2
- Setze und löse nach auf.
Zeige, dass für die Länge der Strecken in Abhängigkeit von gilt:
Betrachte das Dreieck .
In beliebigen Dreiecken gilt der Sinussatz:
Nach Aufgabe a) ist der Winkel . Dieser Winkel ist gleich dem Winkel .
Dann gilt für den Winkel :
Wende nun den Sinussatz an:
mit
Wegen kann die rechte Seite der Gleichung noch umgeformt werden:
Berechne den zugehörigen Wert von
Für die Strecke gilt: .
Dann folgt:
mit
Umformung: \cdot\sin(\varphi+50,83^\circ)
Löse nach auf.
Umformung: :10
Umformung: \sin^{-1}
Umformung: -50,83^\circ
Der zugehörige Wert von beträgt .
Zeigen Sie, dass für das Volumen der Pyramiden in Abhängigkeit von gilt:
.
Berechnen Sie sodann, um wie viel Prozent das Volumen der Pyramide kleiner ist als das Volumen der Pyramide . (5 P)
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Teil 1
- Das Pyramidenvolumen berechnet man mit .
- Die Grundfläche der Pyramide ist eine halbe Raute.
- Für die Höhenberechnung der Pyramide benutzt man den .
Teil 2
- Berechne mit der erhaltenen Volumenformel das Volumen .
- Berechne das Volumen der gesamten Pyramide . (Die Grundfläche der Pyramide ist eine Raute.)
- Bilde dann das Verhältnis:
Zeige, dass für das Volumen der Pyramiden in Abhängigkeit von gilt:
Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Die Grundfläche der Pyramide ist eine halbe Raute.
Für die Höhe dieser Pyramide (siehe Abbildung) gilt:
Für das Volumen der Pyramiden in Abhängigkeit von gilt:
Berechne, um wie viel Prozent das Volumen der Pyramide kleiner ist als das Volumen der Pyramide
Zum Winkel gehört das Volumen:
Die Grundfläche der Pyramide ist eine Raute.
Die Höhe dieser Pyramide ist (siehe Aufgabe a).
Dann folgt:
Berechne das Verhältnis:
oder
Das Volumen der Pyramide ist um rund kleiner als das Volumen der Pyramide .
Die Pyramide hat dasselbe Volumen wie die Pyramide .
In welchem Verhältnis steht das Volumen der Pyramide zum Volumen der Pyramide ? Begründen Sie. (2 P)
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- Es gilt:
- Weiterhin gilt:
In welchem Verhältnis steht das Volumen der Pyramide zum Volumen der Pyramide ? Begründe
Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Die grüne und die braune Pyramide sind zusammen genau halb so groß wie die Pyramide .
Die Pyramide hat dasselbe Volumen wie die Pyramide .
Es folgt:
Das Volumen der Pyramide beträgt des Volumens der Pyramide .