Aufgabe B 3
Der Punkt ist gemeinsamer Eckpunkt von Rechtecken .
Die Eckpunkte liegen auf der Geraden mit der Gleichung
. Es gilt: .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichnen Sie die Gerade sowie die Rechtecke für und für in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit ; (2,5 P)
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- Zeichne die Gerade in ein Koordinatensystem ein.
- Rechteck für .
- Der Punkt liegt auf der Geraden .
- Miss die Länge der Strecke . Trage die Hälfte der gemessenen Strecke sowohl im Punkt als auch im Punkt senkrecht zur Strecke ab.
- Man erhält die Punkte und . Verbinde mit .
- Verfahre für das Rechteck für entsprechend.
Zeichne die Gerade sowie die Rechtecke für und für in ein Koordinatensystem
Zeichne die Gerade mit der Gleichung in ein Koordinatensystem.
Rechteck
Der Punkt (mit ) liegt auf der Geraden .
Miss die Länge der Strecke . Trage wegen die Hälfte der gemessenen Strecke sowohl im Punkt als auch im Punkt senkrecht zur Strecke ab. Man erhält die Punkte und . Verbinde mit .
Rechteck
Verfahre entsprechend mit dem Punkt .
Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten der Punkte in Abhängigkeit von der
Abszisse der Punkte .
Ergebnis: (3,5 P)
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- Es gilt gemäß Zeichnung , dabei ist .
- Der Vektor wird zunächst um um den Ursprung gedreht. Dieser Vektor wird dann durch zentrische Streckung mit dem Streckungsfaktor gestreckt.
- Ergebnis ist der Vektor . Mit diesem Vektor kann der Vektor berechnet werden.
Ermittle rechnerisch die Koordinaten der Punkte in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte
Es gilt gemäß Zeichnung:
Dabei ist .
Der Vektor wird zunächst um um den Ursprung gedreht. Dieser Vektor wird dann durch zentrische Streckung mit dem Streckungsfaktor gestreckt. Ergebnis ist der Vektor .
Für die Drehung um um den Ursprung gilt:
Dann folgt für :
Somit ist .
Nun kann der Vektor berechnet werden:
Die Koordinaten der Punkte in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte lauten .
Zeigen Sie, dass sich der Umfang der Rechtecke in Abhängigkeit von der
Abszisse der Punkte wie folgt darstellen lässt:
. (3 P)
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- Es gilt:
- Für den Umfang folgt dann
- Berechne und damit dann .
Zeige, dass sich der Umfang der Rechtecke in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte wie folgt darstellen lässt:
Es gilt:
Dann folgt für den Umfang für :
Damit ist gezeigt, dass sich der Umfang der Rechtecke in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte wie folgt darstellen lässt:
Der Punkt liegt auf der y–Achse.
Berechnen Sie den Umfang des Rechtecks . (2,5 P)
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- Der Punkt liegt auf der y–Achse.
- Deshalb gilt für :
- Setze in ein.
Berechne den Umfang des Rechtecks
Der Punkt liegt auf der y–Achse.
Deshalb gilt für :
Setze in ein:
Der Umfang des Rechtecks beträgt rund .
Für den Punkt gilt: .
Begründen Sie, warum das zugehörige Rechteck den minimalen Umfang
hat.
Bestimmen Sie sodann den minimalen Umfang sowie die zugehörige Belegung für .
(4 P)
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Teil 1
- Wo liegt die Strecke ?
- Wie steht dann die Strecke zur Geraden?
- Was bedeutet das für die Länge der Strecke ?
Teil 2
- Es gilt:
- Betrachte den Term unter der Wurzel und bestimme die x-Koordinate des Scheitelpunktes .
- Setze in ein.
Begründe, warum das zugehörige Rechteck den minimalen Umfang hat
Wenn , dann gilt auch:
liegt auf
Dann folgt:
Unter allen Stecken hat die Strecke die kürzeste Länge.
Wegen hat somit das Rechteck den minimalen Umfang.
Bestimme sodann den minimalen Umfang sowie die zugehörige Belegung für
Es gilt:
mit
soll minimal werden. Dazu betrachtet man den Term unter der Wurzel.
Es handel sich hier um eine nach oben geöffnete und gestreckte Parabel.
Gesucht ist der x-Wert des Scheitelpunktes . Für ist minimal und damit ist auch minimal.
Bestimme den Scheitelpunkt von :
Klammere aus.
Bilde die quadratische Ergänzung.
Fasse zusammen.
Löse die Klammer auf.
Somit ist .
Der Scheitelpunkt hat die -Koordinate .
Setze in ein:
Der minimale Umfang beträgt rund und die zugehörige Belegung für ist .
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Die Gerade hat die Steigung . Die Gerade durch und schneidet senkrecht und hat daher die Steigung . Also ist die Gleichung dieser Geraden .
ist der Schnittpunkt dieser Geraden und , daher ergibt sich der gesuchte -Wert durch Gleichsetzen:
.
Die Abweichung im Ergebnis kommt durch Rundungsfehler zu Stande. Allerding ergibt Einsetzen denselben gerundeten Wert für den Umfang wie oben.