Ein Designstudio hat eine Nachttischleuchte entworfen. Diese besteht aus einem halbkugelförmigen Schirm mit Radius und einem Leuchtenfuß in der Form eines geraden Kreiskegels mit der Höhe und dem Durchmesser in der Grundfläche (siehe Skizze). Bei Berechnungen kann auf die Verwendung von Einheiten verzichtet werden.
Bestimmen Sie die Maßzahl des Volumens des Fußes der Leuchte in Abhängigkeit von .
[Mögliches Ergebnis: ]
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- Es ist .
- Ersetze durch und wende dann den Satz des Pythagoras auf das rechtwinklige Dreieck an, sodass in ersetzt werden kann.
Bestimme die Maßzahl des Volumens des Fußes der Leuchte in Abhängigkeit von
Gegeben sind der halbkugelförmige Schirm mit Radius und der Leuchtenfuß in der Form eines geraden Kreiskegels, mit der Höhe und dem Durchmesser in der Grundfläche .
Es gilt:
Andererseits gilt im rechtwinkligen Dreieck der Satz des Pythagoras:
, mit folgt dann .
Setze in ein:
(siehe Kontrollergebnis).
Die Maßzahl des Volumens des Fußes der Leuchte in Abhängigkeit von ist .
Aus technischen Gründen wird für die Funktion als Definitionsbereich gewählt. Bestimmen Sie die Höhe des Leuchtenfußes so, dass die Maßzahl seines Volumens den absolut größten Wert annimmt. Nach Auffassung der Designer würde dann die Leuchte die ansprechendsten Proportionen besitzen.
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- Der Definitionsbereich ist . Es ist .
- Berechne die 1. und 2. Ableitung von .
- Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
- Die hinreichende Bedingung für eine Extremstelle lautet: und Überprüfe die Größe der 2. Ableitung.
- Berechne das relative Maximum von .
- Führe eine Randbetrachtung durch, um zu überprüfen, ob ein Maximum eventuell an den Rändern des Definitionsbereiches liegt.
Bestimme die Höhe des Leuchtenfußes so, dass die Maßzahl seines Volumens den absolut größten Wert annimmt
Der Definitionsbereich ist .
Es ist .
Berechne die 1. und 2. Ableitung von :
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
Löse die Gleichung nach auf:
Die negative Höhe entfällt, sodass ist.
Die hinreichende Bedingung für eine Extremstelle lautet:
und
rel. Max.
Die Größe des relativen Maximums ist
Randuntersuchung:
und
Damit hat den größten Wert.
Die Höhe des Leuchtenfußes, sodass die Maßzahl seines Volumens den absolut größten Wert annimmt, beträgt .