Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades mit ist symmetrisch zur Achse und hat einen Wendepunkt . Die Tangente im Punkt besitzt die Gleichung mit
Bestimmen Sie den Funktionsterm . Mögliches Ergebnis:
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- Wegen der Symmetrie zur y-Achse besteht der gesuchte Funktionsterm nur aus geraden Potenzen von
- Berechne die 1. und 2. Ableitung von .
- Erstelle mit den gegebenen Eigenschaften ein lineares Gleichungssystem und löse es mit der Methode deiner Wahl.
Bestimme den Funktionsterm
Wegen der Symmetrie zur y-Achse besteht der gesuchte Funktionsterm nur aus geraden Potenzen von .
Beim Wendepunkt ist :
Die Tangente im Wendepunkt hat die Steigung :
Rechne :
Setze in ein:
Setze und in ein:
Der gesuchte Funktionsterm lautet .
Klammert man noch aus, dann erhält man das Kontrollergebnis:
Ermitteln Sie sämtliche Nullstellen der Funktion und deren Vielfachheit. Erklären Sie die Bedeutung der Vielfachheit dieser Nullstellen für den Graphen .
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Teil 1
- Für die Berechnung der Nullstellen setze .
- Verwende zur Lösung den Satz vom Nullprodukt.
Teil 2
- Bei einer doppelten Nullstelle wird die x-Achse berührt und bei einer einfachen Nullstelle wird die x-Achse geschnitten.
Ermittele sämtliche Nullstellen der Funktion und deren Vielfachheit
Es ist .
Für die Berechnung der Nullstellen setze :
Verwende zur Lösung den Satz vom Nullprodukt:
Der 1. Faktor ist .
Es handelt sich um eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit ist ).
Der 2. Faktor ist .
Hier handelt es sich um je eine einfache Nullstelle (Vielfachheit ist ).
Erkläre die Bedeutung der Vielfachheit dieser Nullstellen für den Graphen
Bei der doppelten Nullstelle wird die x-Achse berührt und bei den beiden einfachen Nullstellen und wird die x-Achse geschnitten.
Bestimmen Sie die maximalen Monotonieintervalle der Funktion sowie Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte des Graphen .
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Teil 1
- Löse die Gleichung .
- Erstelle eine Vorzeichentabelle. Berechne dabei einige Hilfswerte.
- Entscheide nach der Vorzeichentabelle, in welchem Intervall streng monoton steigend ist und in welchem Intervall streng monoton fallend ist.
Teil 2
- Aus der Vorzeichentabelle entnimmt man, dass es zwei Hochpunkte und einen Tiefpunkt gibt.
- Berechne die y-Koordinaten der Extremwerte.
Bestimme die maximalen Monotonieintervalle der Funktion
Es ist .
Löse die Gleichung
Verwende zur Lösung den Satz vom Nullprodukt:
Der 1. Faktor ist .
Der 2. Faktor ist .
Erstelle eine Vorzeichentabelle.
Berechne einige Hilfswerte:
Demnach ist streng monoton steigend in den Intervallen und.
streng monoton fallend in den Intervallen und.
Bestimme die Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte des Graphen
Aus der Vorzeichentabelle entnimmt man:
Es gibt zwei Hochpunkte und einen Tiefpunkt.
Es ist .
Wegen der y-Achsensymmetrie ist .
Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass der Graph genau zwei Wendepunkte besitzt und geben Sie die Koordinaten des zweiten Wendepunkts an. Berechnen Sie auch die -Koordinaten sämtlicher Punkte von , welche die gleichen -Koordinaten wie die Wendepunkte haben.
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Teil 1
- Betrachte den Übergang vom 1. Hochpunkt zum Tiefpunkt und dann den Übergang vom Tiefpunkt zum 2. Hochpunkt.
Teil 2
- Beachte die y-Achsensymmetrie.
Teil 3
- Löse die Gleichung .
- Die erhaltene biquadratische Gleichung kannst Du mit der pq-Formel (oder Mitternachtsformel) lösen.
Begründe ohne weitere Rechnung, dass der Graph genau zwei Wendepunkte besitzt
Der Graph hat Hochpunkte und einen Tiefpunkt.
Beim Übergang vom 1. Hochpunkt zum Tiefpunkt muss von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung übergehen1. Wendepunkt.
Beim Übergang vom Tiefpunkt zum 2. Hochpunkt muss von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung übergehen2. Wendepunkt.
Gib die Koordinaten des zweiten Wendepunkts an
Gegeben ist . Dann ist wegen der y-Achsensymmetrie .
Berechne auch die -Koordinaten sämtlicher Punkte von , welche die gleichen -Koordinaten wie die Wendepunkte haben
.
Setze :
Umformung: -2,5
Löse die Klammer auf.
Umformung: \cdot(-2)
Es handelt sich hier um eine biquadratische Gleichung:
Setze .
Löse die quadratische Gleichung z.B. mit der pq-Formel (oder Mitternachtsformel).
Setze und ein.
Fasse zusammen.
Berechne die Wurzel.
Die beiden Lösungen sind und .
Die Resubstitution liefert dann:
und
Dabei gehören die x-Koordinaten zu den beiden Wendepunkten von .
Die -Koordinaten sämtlicher Punkte von , welche die gleichen -Koordinaten wie die Wendepunkte haben, sind dann (und ).
Zeichnen Sie unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse den Graphen im Bereich in ein kartesisches Koordinatensystem. Für weitere Teilaufgaben wird auf der -Achse der Bereich benötigt.
Maßstab: 1 LE = .
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- Übertrage die berechneten Ergebnisse in ein Koordinatensystem und zeichne den Graphen.
Zeichne unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse den Graphen im Bereich in ein kartesisches Koordinatensystem
Zeigen Sie, dass an der Stelle die Gleichung gilt und bestimmen Sie alle weiteren Stellen mit dieser Eigenschaft. Erklären Sie, was das Ergebnis für den Graphen bedeutet.
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Teil 1
- Setze und in die Gleichung ein.
- Setze in die Gleichung ein und prüfe, ob eine wahre Aussage vorliegt.
Teil 2
- Löse allgemein die Gleichung mithilfe einer Polynomdivision.
Teil 3
- Erkläre, was das Ergebnis für den Graphen bedeutet.
Zeige, dass an der Stelle die Gleichung gilt
Es ist und
Setze in die Gleichung ein:
An der Stelle gilt die Gleichung .
Bestimme alle weiteren Stellen mit dieser Eigenschaft
Löse die Gleichung
Multipliziere die Gleichung mit :
Klammere aus und löse die Gleichung mit dem Satz vom Nullprodukt:
Der 1. Term führt zur Lösung :
Der 2. Term muss ebenfalls null werden:
und wird durch Polynomdivision gelöst.
Bekannt ist die Lösung .
muss berechnet werden:
Löse nun die quadratische Gleichung , z.B. mit der pq-Formel (oder Mitternachtsformel):
Setze und ein.
Damit sind die Lösungen und .
Die Gleichung hat die Lösungen und .
Erkläre, was das Ergebnis für den Graphen bedeutet
An den Stellen und ist der y-Wert der Funktion genauso groß wie die Steigung an dieser Stelle.
Geben Sie exakt die Nullstellen und die Extremstellen der ersten Ableitungsfunktion an und zeichnen Sie den Graphen im Bereich in das vorhandene Koordinatensystem mit Farbe ein.
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Teil 1
- Löse die Gleichung .
Teil 2
- Löse die Gleichung .
Teil 3
- Zeichne den Graphen im Bereich .
Gib exakt die Nullstellen und die Extremstellen der ersten Ableitungsfunktion an
Nullstellen
Es ist .
Löse die Gleichung :
und (siehe auch Aufgabe c).
Die Nullstellen der ersten Ableitungsfunktion sind und .
Extremstellen
Es ist .
Löse die Gleichung .
Nur die Klammer kann null werden .
Die Extremstellen der ersten Ableitungsfunktion sind und .
Zeichne den Graphen im Bereich in das vorhandene Koordinatensystem mit Farbe ein
Die Graphen und schließen ein endliches Flächenstück ein, das im II. und III. Quadranten des Koordinatensystems liegt. Markieren Sie dieses Flächenstück und berechnen Sie die Maßzahl seines Inhalts.
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Teil 1
- Markiere dieses Flächenstück.
Teil 2
- Berechne das Integral .
Markiere dieses Flächenstück
Berechne die Maßzahl seines Inhalts
Aus Aufgabe f) folgt:
Dann muss das Integral berechnet werden:
Die Maßzahl seines Inhalts beträgt .