Einer Halbkugel mit Radius soll ein Zylinder mit Radius und Höhe einbeschrieben werden (siehe Skizze).
Bei Berechnungen kann auf die Verwendung von Einheiten verzichtet werden.
Ermitteln Sie die Maßzahl des Volumens des Zylinders in Abhängigkeit von der Höhe und geben Sie eine sinnvolle Definitionsmenge für die Funktion an, wenn die Höhe mindestens betragen soll.
[Mögliches Teilergebnis: ]
Lösung anzeigen
Teil 1
- Es ist .
- Wende im rechtwinkligen Dreieck den Satz des Pythagoras an und löse nach auf. Setze in ein.
Teil 2
- Es muss gelten und .
Ermittele die Maßzahl des Volumens des Zylinders in Abhängigkeit von der Höhe
Gegeben ist der Halbkugelradius .
Wende im rechtwinkligen Dreieck den Satz des Pythagoras an:
.
Setze in ein:
Die Maßzahl des Volumens des Zylinders in Abhängigkeit von der Höhe lautet .
Gib eine sinnvolle Definitionsmenge für die Funktion an, wenn die Höhe mindestens betragen soll
Es gilt also und (für ist das Zylindervolumen gleich null).
Damit ist die Definitionsmenge .
Berechnen Sie so, dass den absolut größten Wert annimmt, und untersuchen Sie, ob das maximale Volumen des Zylinders mehr als die Hälfte des Halbkugelvolumens beträgt.
Lösung anzeigen
Teil 1
- Berechne die 1. und 2. Ableitung von .
- Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
- Löse die Gleichung nach auf.
- Untersuche, ob die gefundene Lösung im Definitionsbereich liegt. Falls die nicht der Fall sein sollte, muss eine Randbetrachtung erfolgen.
- Gib an.
Teil 2
- Die Hälfte des Halbkugelvolumens ist des Kugelvolumens. Berechne diesen Wert.
- Gilt: ?
Berechne so, dass den absolut größten Wert annimmt
Berechne die 1. und 2. Ableitung von .
Es ist und
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
Löse die Gleichung nach auf.
Die negative Lösung für entfällt und die positive Lösung ist nicht im Definitionsbereich (siehe Aufgabe a) enthalten.
Das maximale Volumen kann also nur am Rand liegen Randbetrachtung.
Die linke Seite des Definitionsbereiches ist .
Für die rechte Seite des Definitionsbereiches muss der Grenzwert berechnet werden:
Damit erhält man das absolute Maximum für .
Untersuche, ob das maximale Volumen des Zylinders mehr als die Hälfte des Halbkugelvolumens beträgt
Die Hälfte des Halbkugelvolumens ist des Kugelvolumens:
Gilt: ?
Das maximale Volumen des Zylinders beträgt mehr als die Hälfte des Halbkugelvolumens.