Aufgabengruppe
Gegeben ist die in definierte Funktion mit . Abbildung 1 zeigt den Graphen von .
Aufgabe 1
Geben Sie einen Term der ersten Ableitungsfunktion von an.
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Lösung
Voraussetzung
AbleitungStrategie
- Berechne die 1. Ableitung einer Potenzfunktion.
Schritte
Term der ersten Ableitungsfunktion von
Gegeben ist die Funktion .
Berechne die 1. Ableitung einer Potenzfunktion:
Aufgabe 2
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von mit der x-Achse einschließt.
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Lösung
Voraussetzung
Flächenberechnung mit IntegralenStrategie
- Berechne die Nullstellen und von .
- Berechne das Integral .
Schritte
Inhalt der Fläche, die der Graph von mit der x-Achse einschließt
Dazu werden die Nullstellen von benötigt.
Die Lösungen erhält man mit dem Satz vom Nullprodukt:
und
Berechne nun das Integral:
Gleichungsumformung
In die Klammer wird für der obere Wert () eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert () gerechnet.
Berechne die Potenzen und löse die Klammer auf.
Der Hauptnenner ist .
Antwort: Der Inhalt der Fläche, die der Graph von mit der x-Achse einschließt, beträgt .