Abbildung 1 zeigt die Pyramide mit den Eckpunkten , , , und sowie den Punkt , der in der quadratischen Grundfläche der Pyramide liegt. Die Seitenfläche der Pyramide liegt in der Ebene .
Berechnen Sie den Inhalt der Oberfläche der Pyramide.
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- Berechne den Flächeninhalt der Grundfläche und den Flächeninhalt der vier Seitenflächen.
Berechne den Inhalt der Oberfläche der Pyramide
Berechne die Vektoren und (siehe Skizze der Pyramide):
Für die Seitenfläche wird noch die Höhe benötigt.
Berechne mit dem Satz des Pythagoras:
Dann folgt für die Oberfläche:
Der Inhalt der Oberfläche der Pyramide beträgt .
Genau eine der folgenden Gleichungen (1) bis (3) beschreibt eine Symmetrieebene der Pyramide. Geben Sie diese Gleichung an und begründen Sie für eine der anderen Gleichungen, dass die durch sie beschriebene Ebene keine Symmetrieebene der Pyramide ist.
(1) (2) (3)
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- Die Symmetrieebenen der Pyramide enthalten den Punkt und gehen durch den Koordinatenursprung .
- Prüfe für die 3 gegebenen Ebenengleichungen, ob sie die Punkte und enthalten.
Zur Veranschaulichung zeigt die Abbildung die 4 Symmetrieebenen der Pyramide.
Die Pyramide hat insgesamt vier Symmetrieebenen:
Keine der drei gegebenen Ebenengleichungen entspricht der Ebenengleichung bzw. der Ebenengleichung .
Es bleiben nur die Ebenen zur Überprüfung übrig.
Die Ebenen gehen durch den Koordinatenursprung und enthalten den Punkt .
Prüfe für die Ebene , ob die Punkte und in einer der drei gegebenen Ebenen liegen.
Prüfung für die Ebene (1):
Damit entfällt die Gleichung der Ebene (1) als Symmetrieebene.
Prüfung für die Ebene (2):
Damit entfällt die Gleichung der Ebene (2) als Symmetrieebene.
Es bleibt nur die Ebene (3) als Symmetrieebene übrig.
Prüfung für die Ebene (3):
Der vollständigkeitshalber erfolgt noch die Prüfung für die Punkte und .
Die Punkte und liegen in der Ebene .
Die Ebene (3) ist die gesuchte Symmetrieebene.
Bestimmen Sie eine Gleichung von in Koordinatenform.
(zur Kontrolle: )
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- Die Seitenfläche der Pyramide liegt in der Ebene .
- Berechne die Richtungsvektoren und .
- Der Normalenvektor der Ebene ist das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
- Erstelle die Ebenengleichung in Normalform und wandle sie in die Koordinatenform um.
Bestimme eine Gleichung von E in Koordinatenform
Die Seitenfläche der Pyramide liegt in der Ebene .
Berechne die Richtungsvektoren und :
Der Normalenvektor der Ebene ist das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
Ausmultipliziert, erhält man die Koordinatenform der Ebene :
Es gibt einen Punkt , der im Innern der Pyramide liegt und von allen vier Seitenflächen sowie der Grundfläche der Pyramide den gleichen Abstand hat. Mithilfe des folgenden Gleichungssystems lässt sich der Wert von bestimmen:
I
II
III
Erläutern Sie die Überlegungen im geometrischen Zusammenhang, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Werts von zugrunde liegen.
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Gleichung I:
- Geradengleichung, welche Gerade wird beschrieben?
Gleichung II:
- Ebenengleichung ; was wurde in diese Gleichung eingesetzt und was kann man berechnen?
Gleichung III:
- Welche beiden Längen sind gleich groß?
Erläutere die Überlegungen im geometrischen Zusammenhang, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Werts von zugrunde liegen
Gleichung I:
Gleichung I beschreibt eine Gerade, deren Aufpunkt der Vektor ist und deren Richtungsvektor der Normalenvektor der Ebene ist. Die Gerade ist somit Lotgerade zur Ebene E.
Gleichung II:
In die Gleichung der Ebene wurde die Geradengleichung eingesetzt, um berechnen zu können. Mit kann der Lotfußpunkt berechnet werden.
Gleichung III:
Der Betrag des Vektors ist der gesuchte Abstand des Punktes P von den Seitenflächen und auch von der Grundfläche. Dieser Abstand muss gleich dem Wert von sein .
Siehe Skizze (Seitenansicht):
Die beiden orangefarbigen Strecken sind gleich lang.
Die Ebene gehört zur Schar der Ebenen
mit .
Die Seitenfläche der Pyramide liegt in der Ebene der Schar, die Seitenfläche in der Ebene .
Zeigen Sie, dass der Punkt in allen Ebenen der Schar enthalten ist.
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- Setze die Koordinaten von in ein.
Zeige, dass der Punkt in allen Ebenen der Schar enthalten ist
Setze ein:
Fasse zusammen
Du hast eine wahre Aussage erhalten. liegt in allen Ebenen .
Weisen Sie nach, dass die Größe des Winkels, unter dem die Gerade die Ebene schneidet, unabhängig von ist.
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- Berechne den Schnittwinkel zwischen der Geraden und der Ebene:
- Dabei ist der Vektor der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene .
- Welche Schlussfolgerung kann man aus dem Ergebnis ziehen?
Weise nach, dass die Größe des Winkels, unter dem die Gerade die Ebene schneidet, unabhängig von ist
Schnittwinkel Gerade Ebene:
Die Gerade startet im Koordinatenursprung und geht durch den Punkt .
Der Richtungsvektor der Geraden ist dann der Vektor und der Normalenvektor der Ebene ist .
Dann folgt:
Der Winkel zwischen Gerade und Ebene ist unabhängig von .
Jede Ebene der Schar schneidet die -Ebene in einer Gerade . Mit wird jeweils derjenige Punkt auf bezeichnet, der von den kleinsten Abstand hat. In
Abbildung 2 sind und beispielhaft für eine Ebene der Schar dargestellt.
Zeichnen Sie die Punkte und in Abbildung 2 ein.
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- Zeichne die Punkte und in Abbildung 2 ein.
- Beachte Aufgabe e).
Zeichne die Punkte und in Abbildung 2 ein
Durchläuft alle Werte von bis , dann dreht sich das Dreieck um die Strecke . Dabei entsteht ein Körper. Beschreiben Sie die Form des entstehenden Körpers und bestimmen Sie das Volumen dieses Körpers.
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Teil 1
- Das sich drehende Dreieck von bis erzeugt einen Körper. Welcher Körper ist das?
Teil 2
- Berechne das Volumen des Körpers.
Beschreibe die Form des entstehenden Körpers
Durchläuft alle Werte von bis , dann dreht sich das Dreieck um die Strecke .
Nach Aufgabe e) gilt:
Die Seitenfläche der Pyramide liegt in der Ebenenschar für und die Seitenfläche der Pyramide liegt in der Ebenenschar für .
Für schneidet die -Ebene im Punkt (siehe Skizze in Aufgabe g).
Der Punkt hat von den Abstand .
Für schneidet die -Ebene im Punkt (siehe Skizze in Aufgabe g).
Der Punkt hat von den Abstand 3.
Nach Aufgabenstellung liegt die Seitenfläche der Pyramide liegt in der Ebene mit der Gleichung . Die Ebene gehört zur Ebenenschar für . Die Ebene schneidet die -Ebene im Punkt L (siehe Skizze in Aufgabe h). Der Punkt hat von O den Abstand 3.
Weiterhin gilt nach Aufgabe e), dass der Punkt in allen Ebenen liegt. Nach Aufgabe f) ist die Größe des Winkels, unter dem die Gerade die Ebene schneidet, unabhängig von .
Durchläuft alle Werte von bis , dann laufen die Punkte beginnend bei über bis auf einem Halbkreis mit dem Radius 3 um O.
Es entsteht ein halber Kreiskegel. Er hat den Radius und die Höhe .
(siehe Skizze)
Anmerkung: Die Seitenfläche der Pyramide liegt nicht in der Ebenenschar .
, d. h. die -Komponente ist hier negativ, während die - Komponente der Normalenvektoren von nie negativ wird .
Bestimme das Volumen dieses Körpers
Der halbe Kreiskegel hat den Radius und die Höhe , dann folgt für das Volumen:
Das Volumen des Körpers beträgt .