Gegeben sind die Punkte , und , die in der
Ebene liegen.
Berechnen Sie die Länge der Strecke und geben Sie die besondere
Lage dieser Strecke im Koordinatensystem an.
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Teil 1
- Berechne den Betrag des Vektors .
Teil 2
- Betrachte die -Koordinate des Vektors .
Berechne die Länge der Strecke
Berechne den Betrag des Vektors .
Die besondere Lage dieser Strecke im Koordinatensystem
Die Strecke ist parallel zur -Ebene.
Bestimmen Sie eine Gleichung von in Koordinatenform.
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- Die Vektoren und sind die Richtungsvektoren der Ebene .
- Der Normalenvektor der Ebene ist das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
- Stelle die Gleichung der Ebene in Normalenform auf und wandle sie in die Koordinatenform um.
Bestimme eine Gleichung von in Koordinatenform
Die Vektoren und sind die Richtungsvektoren der Ebene .
Berechne den Vektors .
In Aufgabe a) wurde schon der Vektor berechnet.
Der Normalenvektor der Ebene ist das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
Dann folgt für die Gleichung der Ebene :
Ausmultipliziert, erhält man die Koordinatenform von :
Betrachtet werden die Schar der Geraden mit und sowie der Punkt .
Begründen Sie, dass jede Gerade der Schar in liegt, und bestimmen Sie
denjenigen Wert , für den der Punkt auf liegt.
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Teil 1
- Setze die Gleichung der Geraden in ein.
Teil 2
- Setze in für ein.
Begründe, dass jede Gerade der Schar in liegt
Setze die Gleichung der Geraden in ein:
Setze die Gleichung der Geraden in ein
Löse die Klammern auf.
Vereinfache
Du hast eine wahre Aussage erhalten, d.h. dass jede Gerade der Schar in liegt.
Bestimme denjenigen Wert , für den der Punkt auf liegt
:
Setze in für ein.
Aus der 3. Gleichung folgt:
Setze in die 1. Gleichung ein:
Überprüfe noch die 2. Gleichung:
Für liegt der Punkt auf .
Begründen Sie, dass die Größe des Schnittwinkels von und der
-Ebene weniger als beträgt, wenn gilt.
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- Schnittwinkel Gerade Ebene: , dabei ist der Richtungsvektor der Geraden und ist der Normalenvektor der -Ebene.
- Berechne und verwende dann die gegebene Bedingung, dass gilt, um den Wert von abzuschätzen. Schließe auf die Größe des Winkels .
Begründe, dass die Größe des Schnittwinkels von und der -Ebene weniger als beträgt, wenn gilt
Schnittwinkel Gerade Ebene:
Der Richtungsvektor der Geraden ist dann der Vektor und der Normalenvektor der -Ebene ist .
Setze die Vektoren und ein.
Berechne das Skalarprodukt.
Berechne den Betrag und die quadratischen Terme im Nenner.
Vereinfache
Damit gilt: .
In der Aufgabenstellung ist gefordert, dass ist:
Also ist .
Da ist, folgt aus , dass sein muss.
Der Schnittwinkel von und der -Ebene beträgt also weniger als , wenn gilt.
Eine Skifahrerin fährt einen Hang hinab. Dieser wird modellhaft durch ein Flächenstück beschrieben, das in der Ebene liegt. Die Startposition der Abfahrt entspricht dem Punkt . Auf dem Hang befindet sich ein Tor, dessen Begrenzungsstangen im Modell an den Punkten und stehen. Von ihrer Startposition fährt die Skifahrerin zunächst entlang einer geraden Fahrlinie bis zu einer Stelle unterhalb des Tors, die dem Punkt entspricht (vgl. Abbildung).
Die gerade Fahrlinie liegt dabei im Modell auf der Gerade
Die -Ebene beschreibt die Horizontale; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 5 Metern in der Realität.
Geben Sie mithilfe des Ergebnisses aus Aufgabe a) die Breite des Tors auf Meter genau an. Begründen Sie mithilfe der Aussage aus Aufgabe d), dass die gerade Fahrlinie der Skifahrerin um weniger als gegenüber der Horizontalen geneigt ist.
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Teil 1
- In Aufgabe a) wurde der Betrag des Vektors berechnet. Beachte, dass eine Längeneinheit im Koordinatensystem Metern in der Realität entspricht.
Teil 2
- Aus Aufgabe d) folgt: Der Schnittwinkel von und der -Ebene beträgt weniger als , wenn gilt. Wie groß ist für die gegebene Gerade ?
- Ist die Bedingung erfüllt?
Gib mithilfe des Ergebnisses aus Aufgabe a) die Breite des Tors auf Meter genau an
In Aufgabe a) wurde der Betrag des Vektors berechnet.
Da eine Längeneinheit im Koordinatensystem Metern in der Realität entspricht, ist die Torbreite .
Begründe mithilfe der Aussage aus Aufgabe d), dass die gerade Fahrlinie der Skifahrerin um weniger als gegenüber der Horizontalen geneigt ist
Aus Aufgabe d) folgt:
Der Schnittwinkel von und der -Ebene beträgt also weniger als , wenn gilt.
Gegeben ist die Gerade , d.h. .
Die Bedingung für den Schnittwinkel von und der -Ebene ist erfüllt.
Die gerade Fahrlinie der Skifahrerin ist um weniger als gegenüber der Horizontalen geneigt.
Begründen Sie rechnerisch, dass die Skifahrerin das Tor tatsächlich durchquert.
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- Prüfe, ob die Gerade durch die beiden Punkte und von geschnitten wird.
- Der Schnittpunkt liegt zwischen und , wenn für den Parameter der Geraden gilt:
Begründe rechnerisch, dass die Skifahrerin das Tor tatsächlich durchquert
Die gerade Fahrlinie liegt im Modell auf der Geraden
Prüfe, ob die Gerade durch die beiden Punkte und von geschnitten wird, setze :
Aus Gleichung 3 folgt:
Aus Gleichung 2 folgt:
Die berechneten Werte werden in Gleichung 1 eingesetzt:
Damit ist gezeigt, dass es einen Schnittpunkt zwischen den beiden Geraden gibt.
Der Schnittpunkt soll aber zwischen und liegen.
Für die Gerade gilt:
Für ist also der Punkt .
Für ist also der Punkt B.
Für liegt der Geradenpunkt zwischen und .
Da hier berechnet wurde, liegt der Schnittpunkt zwischen und .
An der Stelle, die im Modell dem Punkt entspricht, wird die Fahrlinie der Skifahrerin ohne Knick durch eine kreisbogenförmige Kurve fortgesetzt. Während der Fahrt entlang dieser Kurve erreicht die Skifahrerin eine Stelle, die dem Punkt entspricht.
Der Kreisbogen, der diese Kurve beschreibt, ist Teil eines Kreises mit Mittelpunkt . Die Koordinaten von können mit folgendem
Gleichungssystem ermittelt werden.
I
II
III
Erläutern Sie die geometrischen Überlegungen, die den Gleichungen I, II und III zugrunde liegen.
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Gleichung I:
- Vergleiche mit Aufgabe b)
Gleichung II:
- Es ist ein Skalarprodukt gegeben, das den Wert null hat. Welche Schlussfolgerung folgt daraus? Aus welchen Vektoren wird das Skalarprodukt gebildet?
Gleichung III:
- Hier sind zwei Beträge von Vektoren einander gleichgesetzt. Welche Vektoren sind das? Welche Schlussfolgerung kann man ziehen?
Erläutere die geometrischen Überlegungen, die den Gleichungen I, II und III zugrunde liegen
Gleichung I:
Der Mittelpunkt des Kreises liegt in der Ebene .
Seine Koordinaten erfüllen die Ebenengleichung.
Gleichung II:
Der Vektor ist der Vektor .
Dieser Vektor steht senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden . Das Skalarprodukt dieser beiden Vektor ist gleich null.
Die Gerade wird im Punkt vom Kreisbogen berührt.
Gleichung III:
Hier wurde zwei Beträge einander gleichgesetzt.
Die Punkte und haben den gleichen Abstand zum Punkt , liegen also auf dem Kreisbogen.
Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden.
Sie dient nur der Veranschaulichung.
Anmerkung:
Der Kreis ist der Schnittpunkt einer Kugel mit Mittelpunkt mit der Ebene .