Nachhilfe Bulur

Bei einer Messung hat man eine Reihe von Messwertpaaren (Datenpunkte) erhalten.

Diesen Messwertpaaren kann oft nicht eindeutig eine Funktion zugeordnet werden.

Nun wird eine Funktion gesucht, deren Graph möglichst eng an allen Punkten liegt.

Diese Funktion wird Regressionsfunktion genannt und das Verfahren zur Feststellung dieser Funktion heißt Regression.

Bild — Ausgleichsgerade-lineare Regression

Die lineare Regression beruht auf der von Gauß entwickelten "Methode der kleinsten Quadrate" ("Methode der kleinsten Quadratsumme").

Es werden die quadrierten Abstände zwischen den Datenpunkten und der Regressionsgeraden bzw. Regressionsfunktion minimiert. Dieses Prinzip ist auch für weitere Regressionsmethoden relevant.

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Dadurch werden positive und negative Abweichungen zwischen den y-Werten der Punkte in der Liste und den Funktionswerten der x-Werte in der Liste (y-Werte der Regressionsfunktion) gleich behandelt, sodass sie sich nicht gegenseitig aufheben. Außerdem werden größere Abweichungen stärker gewichtet.

Die Berechnung der Regressionsfunktion kann mithilfe eines Taschenrechners, mit der Tabellenkalkulation von Geogebra oder mit Excel erfolgen. Je nach Regressionsfunktionen, die zur Verfügung stehen, können unterschiedliche Ergebnisse entstehen.

Beispiel einer Regression

Mit den folgenden Daten wurden verschiedene Regressionen durchgeführt:

Für den CASIO fx-991 DE PLUS erhält man folgende Ergebnisse:

Name der Regression	Funktion	Ergebnis der Regression	ist der Korrelations-koeffizient	Graphische Darstellung
lineare
quadratische			keine Angabe
logarithmische
exponentielle, e
exponentielle, AB
Potenz
inverse

Anmerkung: Leider gibt es beim CASIO fx-991 DE PLUS bei der quadratischen Regression keine Angabe über den Korrelationskoeffizienten, sodass über die Güte der Annäherung keine Aussage getroffen werden kann (hier kann ein anderer TR helfen). Der Graph zeigt aber, dass die quadratische Regression gut ist.

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Korrelationskoeffizient

Bei Regressionen wird der Korrelationskoeffizient angegeben. Dieser Koeffizient liegt stets zwischen und .

Ein Korrelationskoeffizient nahe :

Regressionsgerade hat eine negative Steigung.

Ein Korrelationskoeffizient nahe :

Regressionsgerade hat eine positive Steigung.

Ein Korrelationskoeffizient nahe :

Regressionsgerade verläuft parallel zur x-Achse (kein linearer Zusammenhang)

Bestimmtheitsmaß

Andererseits wird auch das Bestimmtheitsmaß angegeben. Es sagt etwas darüber aus, wie gut die vorhergesagten Werte (Regressionsfunktion) mit den tatsächlich beobachteten Werten übereinstimmen.

nimmt Werte zwischen und an.

sehr gute Übereinstimmung

Je kleiner ist, desto geringer ist die Übereinstimmung.

kein linearer Zusammenhang zwischen und (der Zusammenhang kann dann aber z. B. ein quadratisch sein).

Andere Angaben

MSe (CASIO fx-CG 20): mean square errormittlerer quadratischer Fehler (siehe auch bei SQA)

SQA (Tabellenkalkulation Geogebra) Berechnet die Summe der quadratischen Abweichungen zwischen den y-Werten der Punkte in der Liste und den Funktionswerten der x-Werte in der Liste (y-Werte der Regressionsfunktion)

Je kleiner MSe oder SQA, desto besser ist die Annäherung durch die Regressionsfunktion.

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Zusätzlich zu den Regressionen mit dem CASIO fx-991 DE PLUS kann man mit dem CASIO fx-CG 20 auch einen kubischen Ansatz, einen Ansatz mit , einen Ansatz mit der Sinus-Funktion und einen logistischen Ansatz verwenden.

Hinweis: Die graphischen Darstellungen wurden mit Geogebra erzeugt.