Zeige, dass sich der Vektor auf unendlich viele Arten als Linearkombination der Vektoren und darstellen lässt und deute das Ergebnis geometrisch.
Lösung anzeigen
Einen Vektor als Linearkombination von und darzustellen, bedeutet, Zahlen zu finden, mit denen und multipliziert werden können, so dass der Vektor entsteht.
Zeige, dass es unendlich viele solche Zahlen gibt.
Als Linearkombination darstellen bedeutet, dass du Zahlen finden musst, so dass:
Daraus entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten:
Wenn du die zweite Gleichung halbierst, erhältst du erneut die erste Gleichung:
Umformung: :2
Somit handelt es sich um ein unterbestimmtes System mit unendlich vielen Lösungen.
Forme die erste Gleichung um, um die Lösungsmenge in Abhängigkeit von anzugeben:
Für ergibt sich zum Beispiel .
Für ergibt sich folglich
Details anzeigen
Auch mit dem Einsetzungverfahren kannst du sehen, dass das System unendlich viele Lösungen hat. Setze die umgeformte Gleichung I in Gleichung II ein:
in
Da die Aussage für alle wahr ist, hat das System unendlich viele Lösungen.
geometrische Interpretation
Bei genauerem Hinsehen solltest du erkennen, dass alle drei Vektoren kollinear sind, also paarweise parallel. Sie liegen also auf einer gemeinsamen Geraden.
