In einem Freizeitbad wird eine schnell wachsende Bambusart gepflanzt, die als Sichtschutz dienen soll. Die Modellfunktion mit der Gleichung und sowie beschreibt näherungsweise die Höhe der Bambuspflanzen in Zentimeter. Dabei gibt die Zeit nach der Pflanzung in Tagen an. Die Pflanzung findet zum Zeitpunkt statt. Bei Rechnungen kann auf die Verwendung von Einheiten verzichtet werden. Runden Sie Ihre Ergebnisse gegebenenfalls auf eine Nachkommastelle.
Ermitteln Sie die Werte der Parameter und c, wenn die Bambushöhe am Pflanztag beträgt und der Bambus Tage nach der Pflanzung bereits hoch ist.
[Mögliche Ergebnisse: ; [4 BE]
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- Löse die Gleichungen und .
Ermittle die Werte der Parameter und , wenn die Bambushöhe am Pflanztag beträgt und der Bambus Tage nach der Pflanzung bereits hoch ist
Gegeben: , und
Löse die Gleichungen und .
Setze in ein:
Umformung: \cdot \left(2+98e^{c\cdot 20}\right)
Löse nach auf.
Umformung: :100
Umformung: -2
Umformung: :98
Umformung: \ln
Umformung: :20
Die Werte der Parameter und sind und .
Um einen ausreichenden Sichtschutz der Badegäste zu gewährleisten, müssen die Bambuspflanzen mindestens hoch sein. Ermitteln Sie, am wievielten Tag nach der Pflanzung die Bambuspflanzen eine Höhe von erreichen. [3 BE]
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- Löse die Gleichung nach auf.
Ermittle, am wievielten Tag nach der Pflanzung die Bambuspflanzen eine Höhe von erreichen
Löse die Gleichung .
Umformung: \cdot \left(2+98e^{-0,2\cdot t}\right)
Löse nach auf.
Umformung: :170
Umformung: -2
Umformung: :98
Umformung: \ln
Umformung: :(-0,2)
Am . Tag wird die Höhe von erreicht.
Bestimmen Sie, welche Höhe die Bambuspflanzen nach langer Zeit erreichen. [2 BE]
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- Berechne .
Bestimme, welche Höhe die Bambuspflanzen nach langer Zeit erreichen
Die Bambuspflanzen erreichen nach langer Zeit eine Höhe von .
Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion . [4 BE]
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- Berechne mit der Quotientenregel, beachte auch die Kettenregel.
- Welche Aussage kann über Zähler und Nenner getroffen werden? Sind sie größer oder kleiner null?
- Was folgt dann für ?
Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion
Berechne mit der Quotientenregel, beachte auch die Kettenregel.
Es gilt und für alle .
ist demnach streng monoton steigend für .
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion für unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte in ein kartesisches Koordinatensystem. Wählen Sie auf beiden Achsen einen geeigneten Maßstab.
[4 BE]
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Zeichne den Graphen der Funktion für unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte in ein kartesisches Koordinatensystem
Erstelle eine Wertetabelle:
(Die Funktionswerte sind teilweise gerundet.)
4 | 26 | 105 | 178 | 197 | 200 | 200 |
