Die Anzahl der in Deutschland pro Monat verschickten SMS soll näherungsweise durch die Funktion mit der Gleichung mit und modelliert werden.
Dabei gibt die Zeit ab Anfang 2013 () in Monaten an und die Anzahl der zum Zeitpunkt gesendeten SMS in Milliarden Stück pro Monat. Bei Rechnungen kann auf die Verwendung von Einheiten verzichtet werden. Runden Sie Ihre Ergebnisse sinnvoll.
Aus statistischen Daten ergeben sich die Werte und . Bestimmen Sie mithilfe der beiden Angaben die Werte der Parameter und .
Mögliche Ergebnisse: ; [4 BE]
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- Löse die Gleichungen und .
Bestimme mithilfe der beiden Angaben die Werte der Parameter und
Gegeben: und .
Löse diese Gleichung:
Umformung: \cdot(1,56e^{b\cdot 12}-1)
Löse nach auf.
Umformung: :2,45
Umformung: +1
Umformung: :1,56
Umformung: \ln
Umformung: :12
Die Werte der Parameter sind und .
Ermitteln Sie die Anzahl der pro Monat gesendeten SMS, die sich nach diesem Modell langfristig einstellen wird. [2 BE]
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- Berechne .
Ermittle die Anzahl der pro Monat gesendeten SMS, die sich nach diesem Modell langfristig einstellen wird
Langfristig geht die Anzahl der pro Monat versendeten SMS gegen null.
Zeigen Sie rechnerisch, dass nach diesem Modell die Anzahl der versendeten SMS pro Monat seit Januar 2013 stets gesunken ist. [4 BE]
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- Berechne mithilfe der Quotientenregel.
- Zeige, dass kleiner null ist.
Zeige rechnerisch, dass nach diesem Modell die Anzahl der versendeten SMS pro Monat seit Januar 2013 stets gesunken ist
Berechne mithilfe der Quotientenregel:
Es gilt: und für alle .
Somit ist streng monoton fallend in .
Die Anzahl der versendeten SMS pro Monat ist seit Januar 2013 stets gesunken.
Alternative Lösung:
Der Zähler von ist konstant und der Nenner ist streng monoton wachsend.
Somit ist streng monoton fallend in .
Die Anzahl der versendeten SMS pro Monat ist seit Januar 2013 stets gesunken.
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion für in ein kartesisches Koordinatensystem. Wählen Sie auf beiden Achsen einen geeigneten Maßstab.
[4 BE]
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- Erstelle eine Wertetabelle.
- Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.
Zeichne den Graphen der Funktion für in ein kartesisches Koordinatensystem
Erstelle eine Wertetabelle:
Es gilt für den Wert des bestimmten Integrals:
(Nachweis nicht erforderlich!).
Die folgende Tabelle gibt die gesamte Anzahl der in Deutschland in den einzelnen Kalenderjahren 2013 bis 2019 verschickten SMS in Milliarden an
(Quelle: Bundesnetzagentur).
Interpretieren Sie den Wert des angegebenen Integrals und überprüfen Sie die Realitätsnähe des Modells mithilfe der von der Bundesnetzagentur veröffentlichten Zahlen. [3 BE]
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- Addiere die angegebenen Zahlen von 2013 bis 2019 und vergleiche mit dem Wert des Integrals.
Interpretiere den Wert des angegebenen Integrals und überprüfe die Realitätsnähe des Modells mithilfe der von der Bundesnetzagentur veröffentlichten Zahlen
Gegeben:
Die Integrationsgrenze entspricht Jahren.
Der Wert des Integrals entspricht der Anzahl der in Deutschland in den einzelnen Kalenderjahren 2013 bis 2019 laut dem Modell verschickten SMS in Milliarden.
Das Modell sagt rund Milliarden SMS voraus.
Realitätsnähe:
Addiere die angegebenen Zahlen von 2013 bis 2019:
Das Modell beschreibt sehr gut das tatsächliche Geschehen. Es liegt sehr nahe bei den tatsächlichen Zahlen.