In einem kartesischen Koordinatensystem des sind der Punkt sowie die Geraden
und : mit gegeben.
Es gilt . Somit legen der Punkt und die Gerade eine Ebene fest.
Ermitteln Sie je eine Gleichung der Ebene in Parameter- und Koordinatenform.
[ Mögliches Teilergebnis: E: (5 BE)
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- Parameterform:
- Koordinatenform:
- Berechne den Normalenvektor von als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren von .
- Es ist . Bestimme , indem Du die Koordinaten von einsetzt.
Ermittle je eine Gleichung der Ebene in Parameter- und Koordinatenform
Gegeben: und .
Die Gleichung der Ebene in Parameterform lautet .
Umwandlung der Parameterform in die Koordinatenform
Berechne den Normalenvektor von :
Setze die Koordinaten von ein:
Die Gleichung der Ebene in Koordinatenform lautet .
Bestimmen Sie den Wert von so, dass sich die Geraden und in einem Punkt schneiden und berechnen Sie die Koordinaten dieses Schnittpunktes . (4 BE)
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Teil 1
- Setze und löse das Gleichungssystem.
Teil 2
- Setze z.B. in ein.
Bestimme den Wert von so, dass sich die Geraden und in einem Punkt schneiden
Gegeben: und
Setze :
Du erhältst das folgende Gleichungssystem:
Rechne :
Setze in ein:
Setze und in ein:
Für schneiden sich die Geraden und in einem Punkt .
Berechne die Koordinaten dieses Schnittpunktes
Setze in ein:
Die Koordinaten dieses Schnittpunktes sind .
Anmerkung: Alternativ kann auch in eingesetzt werden .
Für ergibt sich die Gerade
Zeigen Sie, dass die Gerade echt parallel zur Ebene verläuft. Fertigen Sie ohne Verwendung eines Koordinatensystems eine aussagekräftige Skizze an, aus der die gegenseitige Lage von sowie der beiden Geraden und klar hervorgeht. Formulieren Sie die Lagebeziehung zwischen und zusätzlich in Worten. (5 BE)
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Teil 1
- Ist das Skalarprodukt der Vektoren gleich null, dann stehen sie senkrecht aufeinander und verläuft parallel zu .
- Alternativ: Berechne .
Teil 2
- Fertige eine Skizze an. Die Gerade verläuft echt parallel zur Ebene und .
Teil 3
- Wie nennt man zwei Geraden, die nicht parallel verlaufen und sich nicht schneiden?
Zeige, dass die Gerade echt parallel zur Ebene verläuft
und .
Ist das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren gleich null, dann stehen sie senkrecht aufeinander und verläuft parallel zu .
Prüfe, ob auf liegt, dann würde die Gerade in der Ebene liegen.
.
Die Gerade verläuft echt parallel zur Ebene .
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Schneide mit :
Die Gerade verläuft echt parallel zur Ebene .
Fertige ohne Verwendung eines Koordinatensystems eine aussagekräftige Skizze an, aus der die gegenseitige Lage von sowie der beiden Geraden und klar hervorgeht
Die Gerade verläuft echt parallel zur Ebene und .
Formuliere die Lagebeziehung zwischen und zusätzlich in Worten
1. Die Geraden und sind nicht parallel zueinander, da die Richtungsvektoren offensichtlich linear unabhängig sind.
2. Die Geraden und schneiden sich nicht, da die Gerade echt parallel zur Ebene verläuft und in liegt.
3. und sind windschief zueinander.