Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge . Der Graph der Funktion wird mit bezeichnet.
Zeigen Sie, dass und die einzigen Nullstellen von sind. Bestimmen Sie auch das Verhalten der Funktionswerte von an den Rändern des Definitionsbereiches und die Gleichung der senkrechten Asymptote von (6 BE)
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- Nullstellen, berechne .
Zeige, dass und die einzigen Nullstellen von sind
Gegeben:
Nullstellen:
Umformung: +1
Umformung: \sqrt{}
Du erhältst die beiden Lösungen und .
und sind die einzigen Nullstellen von .
Bestimme auch das Verhalten der Funktionswerte von an den Rändern des Definitionsbereiches
Gegeben: Definitionsmenge .
Rand :
Rand :
Bestimme die Gleichung der senkrechten Asymptote von
Das Ergebnis des 1. berechneten Grenzwertes (Rand ) zeigt, dass eine senkrechte Asymptote ist.
Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle sowie die Art und die Koordinaten des absoluten Extrempunktes von . Geben Sie auch die Wertemenge der Funktion an.
[Mögliches Teilergebnis: ] (7 BE)
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Teil 1
- Berechne . Beachte beim Ableiten die Kettenregel.
- Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist . Löse die Gleichung.
- Erstelle eine Monotonietabelle.
Teil 2
- Der Funktionswert des Tiefpunktes ist die untere Grenze des Wertebereichs.
Ermittle die maximalen Monotonieintervalle sowie die Art und die Koordinaten des absoluten Extrempunktes von
Berechne :
Beachte beim Ableiten die Kettenregel.
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
Löse die Gleichung .
Erstelle eine Monotonietabelle:
Berechne zwei Beispielwerte für f'(x).
und
Nach der Tabelle ist streng monoton fallend in und streng monoton steigend in .
.
Die Koordinaten des Tiefpunktes von sind .
Gib auch die Wertemenge der Funktion an
Der Tiefpunkt von ist .
Die Wertemenge der Funktion ist .
Bestimmen Sie die exakte Gleichung der Wendetangente an den Graphen . (5 BE)
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- Berechne die Wendepunkte mithilfe der Quotientenregel.
- Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist . Löse die Gleichung .
- Gleichung der Wendetangente: mit .
Bestimme die exakte Gleichung der Wendetangente an den Graphen
Berechne die Wendepunkte mithilfe der Quotientenregel:
Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist .
Bekannt ist .
Löse die Gleichung :
Umformung: +2\ln x
Umformung: :2
Umformung: e^{()}
ist eine einfache Nullstelle von , d.h. mit Vorzeichenwechsel von an der Stelle . An der Stelle liegt ein Wendepunkt vor.
Die Nullstelle von ist gleichzeitig Wendepunkt .
Gleichung der Wendetangente:
mit
Setze in ein:
Dann lautete die Gleichung der Wendetangente:
Zeichnen Sie den Graphen unter Berücksichtigung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte im Bereich in ein kartesisches Koordinatensystem.
Maßstab auf beiden Achsen: (4 BE)
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- Erstelle eine Wertetabelle für und trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein.
- Verbinde die Punkte.
Zeichne den Graphen unter Berücksichtigung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte im Bereich in ein kartesisches Koordinatensystem
Erstelle eine Wertetabelle:
Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge
1) Zeigen Sie, dass eine Stammfunktion von ist. (4 BE)
2) Der Graph und die x-Achse schließen im vierten Quadranten ein endliches Flächenstück ein. Kennzeichnen Sie dieses Flächenstück in der Zeichnung aus Teilaufgabe 1 d) und berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts der Fläche auf zwei Nachkommastellen gerundet. (4 BE)
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1)
- Zeige , dann ist eine Stammfunktion von
- Beachte beim Ableiten die Produkt- und Kettenregel.
2)
- Kennzeichne das Flächenstück im 4. Quadranten.
- Berechne .
- Beachte: Die Fläche liegt im 4. Quadranten, d.h. unterhalb der x-Achse. Die Flächenberechnung erfolgt deshalb mit dem Betrag des Integrals.
1) Zeige, dass eine Stammfunktion von ist
Gegeben:
Zeige , dann ist eine Stammfunktion von .
Beachte beim Ableiten die Produkt- und Kettenregel.
2) Kennzeichne dieses Flächenstück in der Zeichnung aus Teilaufgabe 1 d)
Berechne die Maßzahl des Inhalts der Fläche auf zwei Nachkommastellen gerundet
Mit und sowie folgt:
Die Fläche liegt im 4. Quadranten, d.h. unterhalb der x-Achse.
Die Flächenberechnung erfolgt deshalb mit dem Betrag des Integrals.
Die Maßzahl des Inhalts der Fläche auf zwei Nachkommastellen gerundet
beträgt .